Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\sin (π x)}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} \sin (π x)}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (π x)}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \sin (π x)}$

Paso 1.2.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (π x)}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} π x)}$

Paso 1.3.1.2

Mueve el término $π$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{\sin (π lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\sin (π \cdot 0)}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

Multiplica $π$ por $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Paso 1.3.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\sin (π x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Paso 3.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = π x$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $π x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x]}$

Paso 3.3.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos (u) \frac{d}{d x} [π x]}$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $π x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x]}$

Paso 3.4

Como $π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $π x$ con respecto a $x$ es $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])}$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos (π x) (π \cdot 1)}$

Paso 3.6

Multiplica $π$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos (π x) π}$

Paso 3.7

Reordena los factores de $\cos (π x) π$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{π \cos (π x)}$

Paso 4

Mueve el término $\frac{1}{π}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{π} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos (π x)}$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (π x)}$

Paso 6

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (π x)}$

Paso 7

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} π x)}$

Paso 8

Mueve el término $π$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (π lim_{x \to 0} x)}$

Paso 9

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 9.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{\cos (0)}{\cos (π lim_{x \to 0} x)}$

Paso 9.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{\cos (0)}{\cos (π \cdot 0)}$

Paso 10

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{1}{\cos (π \cdot 0)}$

Paso 10.2

Simplifica el denominador.

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Paso 10.2.1

Multiplica $π$ por $0$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

Paso 10.2.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{1}{1}$

Paso 10.3

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 10.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{1}{1}$

Paso 10.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{π} \cdot 1$

Paso 10.4

Multiplica $\frac{1}{π}$ por $1$ .

$\frac{1}{π}$