Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{\ln (x) - \sin (π x)}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1}{lim_{x \to 1} \ln (x) - \sin (π x)}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \ln (x) - \sin (π x)}$

Paso 1.2.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \ln (x) - \sin (π x)}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \ln (x) - \sin (π x)}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} \ln (x) - \sin (π x)}$

Paso 1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \ln (x) - \sin (π x)}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \ln (x) - lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Paso 1.3.2

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 1} x) - lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Paso 1.3.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 1} x) - \sin (lim_{x \to 1} π x)}$

Paso 1.3.4

Mueve el término $π$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 1} x) - \sin (π lim_{x \to 1} x)}$

Paso 1.3.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{0}{\ln (1) - \sin (π lim_{x \to 1} x)}$

Paso 1.3.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{0}{\ln (1) - \sin (π \cdot 1)}$

Paso 1.3.6

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.6.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.6.1.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{0}{0 - \sin (π \cdot 1)}$

Paso 1.3.6.1.2

Multiplica $π$ por $1$ .

$\frac{0}{0 - \sin (π)}$

Paso 1.3.6.1.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{0}{0 - \sin (0)}$

Paso 1.3.6.1.4

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0 - 0}$

Paso 1.3.6.1.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Paso 1.3.6.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.6.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.7

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{\ln (x) - \sin (π x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (x) - \sin (π x)]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (x) - \sin (π x)]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (x) - \sin (π x)]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (x) - \sin (π x)]}$

Paso 3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\ln (x) - \sin (π x)]}$

Paso 3.5

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\ln (x) - \sin (π x)]}$

Paso 3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $\ln (x) - \sin (π x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (π x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (π x)]}$

Paso 3.7

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- \sin (π x)]}$

Paso 3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sin (π x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \sin (π x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} - \frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Paso 3.8.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = π x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} - (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x])}$

Paso 3.8.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} - (\cos (u) \frac{d}{d x} [π x])}$

Paso 3.8.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} - (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x])}$

Paso 3.8.3

Como $π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $π x$ con respecto a $x$ es $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} - (\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x]))}$

Paso 3.8.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} - (\cos (π x) (π \cdot 1))}$

Paso 3.8.5

Multiplica $π$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} - (\cos (π x) π)}$

Paso 3.8.6

Elimina los paréntesis.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} - \cos (π x) π}$

Paso 3.9

Reordena los términos.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{- π \cos (π x) + \frac{1}{x}}$

Paso 4

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} - π \cos (π x) + \frac{1}{x}}$

Paso 5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 1} - π \cos (π x) + \frac{1}{x}}$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{1}{- lim_{x \to 1} π \cos (π x) + lim_{x \to 1} \frac{1}{x}}$

Paso 7

Mueve el término $π$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{- π lim_{x \to 1} \cos (π x) + lim_{x \to 1} \frac{1}{x}}$

Paso 8

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{- π \cos (lim_{x \to 1} π x) + lim_{x \to 1} \frac{1}{x}}$

Paso 9

Mueve el término $π$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{- π \cos (π lim_{x \to 1} x) + lim_{x \to 1} \frac{1}{x}}$

Paso 10

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{1}{- π \cos (π lim_{x \to 1} x) + \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}}$

Paso 11

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{1}{- π \cos (π lim_{x \to 1} x) + \frac{1}{lim_{x \to 1} x}}$

Paso 12

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{- π \cos (π \cdot 1) + \frac{1}{lim_{x \to 1} x}}$

Paso 12.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{- π \cos (π \cdot 1) + \frac{1}{1}}$

Paso 13

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Cancela el factor común de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{- π \cos (π \cdot 1) + \frac{1}{1}}$

Paso 13.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{- π \cos (π \cdot 1) + 1}$

Paso 13.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.1

Multiplica $π$ por $1$ .

$\frac{1}{- π \cos (π) + 1}$

Paso 13.2.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$\frac{1}{- π (- \cos (0)) + 1}$

Paso 13.2.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{- π (- 1 \cdot 1) + 1}$

Paso 13.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{- π \cdot - 1 + 1}$

Paso 13.2.5

Multiplica $- π \cdot - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{1 π + 1}$

Paso 13.2.5.2

Multiplica $π$ por $1$ .

$\frac{1}{π + 1}$