Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 1} \frac{4 \sin (π x)}{\cos (π x) + x}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} 4 \sin (π x)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.2.1.1

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 1} \sin (π x)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Paso 1.2.1.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{4 \sin (lim_{x \to 1} π x)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Paso 1.2.1.3

Mueve el término $π$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 \sin (π lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{4 \sin (π \cdot 1)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Multiplica $π$ por $1$ .

$\frac{4 \sin (π)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Paso 1.2.3.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{4 \sin (0)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Paso 1.2.3.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Paso 1.2.3.4

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + lim_{x \to 1} x}$

Paso 1.3.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to 1} π x) + lim_{x \to 1} x}$

Paso 1.3.3

Mueve el término $π$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{\cos (π lim_{x \to 1} x) + lim_{x \to 1} x}$

Paso 1.3.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.3.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{0}{\cos (π \cdot 1) + lim_{x \to 1} x}$

Paso 1.3.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{0}{\cos (π \cdot 1) + 1}$

Paso 1.3.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.5.1.1

Multiplica $π$ por $1$ .

$\frac{0}{\cos (π) + 1}$

Paso 1.3.5.1.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$\frac{0}{- \cos (0) + 1}$

Paso 1.3.5.1.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 1 + 1}$

Paso 1.3.5.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{- 1 + 1}$

Paso 1.3.5.2

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.5.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.6

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{4 \sin (π x)}{\cos (π x) + x} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 \sin (π x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 \sin (π x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Paso 3.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 \sin (π x)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \frac{d}{d x} [\sin (π x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = π x$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x])}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Paso 3.3.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [π x])}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x])}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Paso 3.4

Elimina los paréntesis.

$lim_{x \to 1} \frac{4 \cos (π x) \frac{d}{d x} [π x]}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Paso 3.5

Como $π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $π x$ con respecto a $x$ es $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \cos (π x) (π \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Paso 3.7

Multiplica $π$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \cos (π x) π}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Paso 3.8

Reordena los factores de $4 \cos (π x) π$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Paso 3.9

Según la regla de la suma, la derivada de $\cos (π x) + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\cos (π x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{\frac{d}{d x} [\cos (π x)] + \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.10

Evalúa $\frac{d}{d x} [\cos (π x)]$ .

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Paso 3.10.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = π x$ .

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Paso 3.10.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.10.1.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (u) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.10.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.10.2

Como $π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $π x$ con respecto a $x$ es $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.10.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (π x) (π \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.10.4

Multiplica $π$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (π x) π + \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (π x) π + 1}$

Paso 3.12

Reordena los términos.

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- π \sin (π x) + 1}$

Paso 4

Mueve el término $4 π$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$4 π lim_{x \to 1} \frac{\cos (π x)}{- π \sin (π x) + 1}$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$4 π \frac{lim_{x \to 1} \cos (π x)}{lim_{x \to 1} - π \sin (π x) + 1}$

Paso 6

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$4 π \frac{\cos (lim_{x \to 1} π x)}{lim_{x \to 1} - π \sin (π x) + 1}$

Paso 7

Mueve el término $π$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} - π \sin (π x) + 1}$

Paso 8

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{- lim_{x \to 1} π \sin (π x) + lim_{x \to 1} 1}$

Paso 9

Mueve el término $π$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{- π lim_{x \to 1} \sin (π x) + lim_{x \to 1} 1}$

Paso 10

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{- π \sin (lim_{x \to 1} π x) + lim_{x \to 1} 1}$

Paso 11

Mueve el término $π$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{- π \sin (π lim_{x \to 1} x) + lim_{x \to 1} 1}$

Paso 12

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{- π \sin (π lim_{x \to 1} x) + 1}$

Paso 13

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 13.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$4 π \frac{\cos (π \cdot 1)}{- π \sin (π lim_{x \to 1} x) + 1}$

Paso 13.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$4 π \frac{\cos (π \cdot 1)}{- π \sin (π \cdot 1) + 1}$

Paso 14

Simplifica la respuesta.

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Paso 14.1

Simplifica el numerador.

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Paso 14.1.1

Multiplica $π$ por $1$ .

$4 π \frac{\cos (π)}{- π \sin (π \cdot 1) + 1}$

Paso 14.1.2

$4 π \frac{- \cos (0)}{- π \sin (π \cdot 1) + 1}$

Paso 14.1.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$4 π \frac{- 1 \cdot 1}{- π \sin (π \cdot 1) + 1}$

Paso 14.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$4 π \frac{- 1}{- π \sin (π \cdot 1) + 1}$

Paso 14.2

Simplifica el denominador.

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Paso 14.2.1

Multiplica $π$ por $1$ .

$4 π \frac{- 1}{- π \sin (π) + 1}$

Paso 14.2.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$4 π \frac{- 1}{- π \sin (0) + 1}$

Paso 14.2.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$4 π \frac{- 1}{- π \cdot 0 + 1}$

Paso 14.2.4

Multiplica $- π \cdot 0$ .

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Paso 14.2.4.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$4 π \frac{- 1}{0 π + 1}$

Paso 14.2.4.2

Multiplica $0$ por $π$ .

$4 π \frac{- 1}{0 + 1}$

Paso 14.2.5

Suma $0$ y $1$ .

$4 π \frac{- 1}{1}$

Paso 14.3

Divide $- 1$ por $1$ .

$4 π \cdot - 1$

Paso 14.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- 4 π$