Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{16 x^{2} - 9 x}}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3 x}{lim_{x \to - \infty} \sqrt{16 x^{2} - 9 x}}$

Paso 1.2

El límite al infinito negativo de un polinomio de grado impar con coeficiente principal positivo es infinito negativo.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} \sqrt{16 x^{2} - 9 x}}$

Paso 1.3

A medida que $x$ se acerca a $- \infty$ para los radicales, el valor va a $\infty$ .

$\frac{- \infty}{\infty}$

Paso 1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{- \infty}{\infty}$

Paso 2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{16 x^{2} - 9 x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{16 x^{2} - 9 x}]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{16 x^{2} - 9 x}]}$

Paso 3.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{16 x^{2} - 9 x}]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{16 x^{2} - 9 x}]}$

Paso 3.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{d}{d x} [\sqrt{16 x^{2} - 9 x}]}$

Paso 3.5

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{16 x^{2} - 9 x}$ como ${(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{d}{d x} [{(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}]}$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 16 x^{2} - 9 x$ .

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Paso 3.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $16 x^{2} - 9 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

Paso 3.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

Paso 3.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $16 x^{2} - 9 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

Paso 3.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

Paso 3.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

Paso 3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

Paso 3.10

Simplifica el numerador.

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Paso 3.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

Paso 3.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

Paso 3.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

Paso 3.12

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(16 x^{2} - 9 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{{(16 x^{2} - 9 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

Paso 3.13

Mueve ${(16 x^{2} - 9 x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

Paso 3.14

Según la regla de la suma, la derivada de $16 x^{2} - 9 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x])}$

Paso 3.15

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16 x^{2}$ con respecto a $x$ es $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x])}$

Paso 3.16

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x])}$

Paso 3.17

Multiplica $2$ por $16$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (32 x + \frac{d}{d x} [- 9 x])}$

Paso 3.18

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9 x$ con respecto a $x$ es $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (32 x - 9 \frac{d}{d x} [x])}$

Paso 3.19

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (32 x - 9 \cdot 1)}$

Paso 3.20

Multiplica $- 9$ por $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (32 x - 9)}$

Paso 3.21

Simplifica.

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Paso 3.21.1

Reordena los factores de $\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (32 x - 9)$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{(32 x - 9) \frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 3.21.2

Multiplica $32 x - 9$ por $\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{32 x - 9}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to - \infty} 3 \frac{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}}{32 x - 9}$

Paso 5

Reescribe ${(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{16 x^{2} - 9 x}$ .

$lim_{x \to - \infty} 3 \frac{2 \sqrt{16 x^{2} - 9 x}}{32 x - 9}$

Paso 6

Combina factores.

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Paso 6.1

Combina $3$ y $\frac{2 \sqrt{16 x^{2} - 9 x}}{32 x - 9}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 (2 \sqrt{16 x^{2} - 9 x})}{32 x - 9}$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 \sqrt{16 x^{2} - 9 x}}{32 x - 9}$

Paso 7

Evalúa el límite.

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Paso 7.1

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{16 x^{2} - 9 x}}{32 x - 9}$

Paso 7.2

Factoriza $x$ de $16 x^{2} - 9 x$ .

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Paso 7.2.1

Factoriza $x$ de $16 x^{2}$ .

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x \cdot 16 x - 9 x}}{32 x - 9}$

Paso 7.2.2

Factoriza $x$ de $- 9 x$ .

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x \cdot 16 x + x \cdot - 9}}{32 x - 9}$

Paso 7.2.3

Factoriza $x$ de $x (16 x) + x \cdot - 9$ .

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (16 x - 9)}}{32 x - 9}$

Paso 8

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $- \sqrt{x^{2}} = x$ .

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (16 x - 9)}{x^{2}}}}{\frac{32 x}{x} + \frac{- 9}{x}}$

Paso 9

Simplifica cada término.

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (16 x - 9)}{x^{2}}}}{32 - \frac{9}{x}}$

Paso 10

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (16 x - 9)}{x \cdot x}}}{32 - \frac{9}{x}}$

Paso 10.2

Cancela el factor común.

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (16 x - 9)}{x \cdot x}}}{32 - \frac{9}{x}}$

Paso 10.3

Reescribe la expresión.

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{16 x - 9}{x}}}{32 - \frac{9}{x}}$

Paso 11

Evalúa el límite.

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Paso 11.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$6 \frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{16 x - 9}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Paso 11.2

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$6 \frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{16 x - 9}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Paso 11.3

Mueve el límite debajo del signo radical.

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 x - 9}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Paso 12

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x$ .

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{16 x}{x} + \frac{- 9}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Paso 13

Evalúa el límite.

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Paso 13.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 13.1.1.1

Cancela el factor común.

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{16 x}{x} + \frac{- 9}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Paso 13.1.1.2

Divide $16$ por $1$ .

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 + \frac{- 9}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Paso 13.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 - \frac{9}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Paso 13.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 13.2.1

Cancela el factor común.

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 - \frac{9}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Paso 13.2.2

Reescribe la expresión.

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 - \frac{9}{x}}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Paso 13.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$6 \frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 - \frac{9}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Paso 13.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$6 \frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 - lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Paso 13.5

Evalúa el límite de $16$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Paso 13.6

Mueve el término $9$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Paso 14

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Paso 15

Evalúa el límite.

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Paso 15.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Paso 15.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x}}$

Paso 15.3

Evalúa el límite de $32$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{1}}}{32 - lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x}}$

Paso 15.4

Mueve el término $9$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{1}}}{32 - 9 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 16

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{1}}}{32 - 9 \cdot 0}$

Paso 17

Simplifica la respuesta.

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Paso 17.1

Divide $16 - 9 \cdot 0$ por $1$ .

$6 \frac{- \sqrt{16 - 9 \cdot 0}}{32 - 9 \cdot 0}$

Paso 17.2

Simplifica el numerador.

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Paso 17.2.1

Multiplica $- 9$ por $0$ .

$6 \frac{- \sqrt{16 + 0}}{32 - 9 \cdot 0}$

Paso 17.2.2

Suma $16$ y $0$ .

$6 \frac{- \sqrt{16}}{32 - 9 \cdot 0}$

Paso 17.2.3

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$6 \frac{- \sqrt{4^{2}}}{32 - 9 \cdot 0}$

Paso 17.2.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$6 \frac{- 1 \cdot 4}{32 - 9 \cdot 0}$

Paso 17.3

Simplifica el denominador.

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Paso 17.3.1

Multiplica $- 9$ por $0$ .

$6 \frac{- 1 \cdot 4}{32 + 0}$

Paso 17.3.2

Suma $32$ y $0$ .

$6 \frac{- 1 \cdot 4}{32}$

Paso 17.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$6 (\frac{- 4}{32})$

Paso 17.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 17.5.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$2 (3) \frac{- 4}{32}$

Paso 17.5.2

Factoriza $2$ de $32$ .

$2 \cdot 3 \frac{- 4}{2 \cdot 16}$

Paso 17.5.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot 3 \frac{- 4}{2 \cdot 16}$

Paso 17.5.4

Reescribe la expresión.

$3 (\frac{- 4}{16})$

Paso 17.6

Combina $3$ y $\frac{- 4}{16}$ .

$\frac{3 \cdot - 4}{16}$

Paso 17.7

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$\frac{- 12}{16}$

Paso 17.8

Cancela el factor común de $- 12$ y $16$ .

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Paso 17.8.1

Factoriza $4$ de $- 12$ .

$\frac{4 (- 3)}{16}$

Paso 17.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 17.8.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$\frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 4}$

Paso 17.8.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 4}$

Paso 17.8.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 3}{4}$

Paso 17.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{4}$