Cálculo Ejemplos

$lim_{θ \to 0} \frac{\cos^{2} (θ) - 1}{θ}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{θ \to 0} \cos^{2} (θ) - 1}{lim_{θ \to 0} θ}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $θ$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{θ \to 0} \cos^{2} (θ) - lim_{θ \to 0} 1}{lim_{θ \to 0} θ}$

Paso 1.2.1.2

Mueve el exponente $2$ de $\cos^{2} (θ)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{θ \to 0} \cos (θ))}^{2} - lim_{θ \to 0} 1}{lim_{θ \to 0} θ}$

Paso 1.2.1.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{\cos^{2} (lim_{θ \to 0} θ) - lim_{θ \to 0} 1}{lim_{θ \to 0} θ}$

Paso 1.2.1.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $θ$ se acerca a $0$ .

$\frac{\cos^{2} (lim_{θ \to 0} θ) - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to 0} θ}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $0$ para $θ$ .

$\frac{\cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to 0} θ}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to 0} θ}$

Paso 1.2.3.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to 0} θ}$

Paso 1.2.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{θ \to 0} θ}$

Paso 1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to 0} θ}$

Paso 1.3

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $0$ para $θ$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{θ \to 0} \frac{\cos^{2} (θ) - 1}{θ} = lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ) - 1]}{\frac{d}{d θ} [θ]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ) - 1]}{\frac{d}{d θ} [θ]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\cos^{2} (θ) - 1$ con respecto a $θ$ es $\frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 1]$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 1]}{\frac{d}{d θ} [θ]}$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ es $f' (g (θ)) g' (θ)$ donde $f (θ) = θ^{2}$ y $g (θ) = \cos (θ)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 1]}{\frac{d}{d θ} [θ]}$

Paso 3.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{2 u \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 1]}{\frac{d}{d θ} [θ]}$

Paso 3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{2 \cos (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 1]}{\frac{d}{d θ} [θ]}$

Paso 3.3.2

La derivada de $\cos (θ)$ con respecto a $θ$ es $- \sin (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{2 \cos (θ) (- \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} [- 1]}{\frac{d}{d θ} [θ]}$

Paso 3.3.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- 2 \cos (θ) \sin (θ) + \frac{d}{d θ} [- 1]}{\frac{d}{d θ} [θ]}$

Paso 3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $θ$ es $0$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- 2 \cos (θ) \sin (θ) + 0}{\frac{d}{d θ} [θ]}$

Paso 3.5

Suma $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ y $0$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- 2 \cos (θ) \sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [θ]}$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ es $n θ^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- 2 \cos (θ) \sin (θ)}{1}$

Paso 4

Divide $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ por $1$ .

$lim_{θ \to 0} - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Paso 5

Mueve el término $- 2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $θ$ .

$- 2 lim_{θ \to 0} \cos (θ) \sin (θ)$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $θ$ se aproxima a $0$ .

$- 2 lim_{θ \to 0} \cos (θ) \cdot lim_{θ \to 0} \sin (θ)$

Paso 7

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$- 2 \cos (lim_{θ \to 0} θ) \cdot lim_{θ \to 0} \sin (θ)$

Paso 8

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$- 2 \cos (lim_{θ \to 0} θ) \cdot \sin (lim_{θ \to 0} θ)$

Paso 9

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $θ$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $0$ para $θ$ .

$- 2 \cos (0) \cdot \sin (lim_{θ \to 0} θ)$

Paso 9.2

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $0$ para $θ$ .

$- 2 \cos (0) \cdot \sin (0)$

Paso 10

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- 2 \cdot 1 \cdot \sin (0)$

Paso 10.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2 \cdot \sin (0)$

Paso 10.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$- 2 \cdot 0$

Paso 10.4

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$0$