Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 4 x - 7}{x^{3} + 3 x^{2} - 5}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{2} + 4 x - 7}{lim_{x \to \infty} x^{3} + 3 x^{2} - 5}$

Paso 1.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{3} + 3 x^{2} - 5}$

Paso 1.3

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 4 x - 7}{x^{3} + 3 x^{2} - 5} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 4 x - 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 4 x - 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} + 4 x - 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Paso 3.3.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 3.4.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Paso 3.4.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Paso 3.5

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Paso 3.6

Suma $4 x + 4$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Paso 3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 3 x^{2} - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Paso 3.9

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 3.9.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4}{3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Paso 3.9.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4}{3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Paso 3.9.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4}{3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Paso 3.10

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4}{3 x^{2} + 6 x + 0}$

Paso 3.11

Suma $3 x^{2} + 6 x$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4}{3 x^{2} + 6 x}$

Paso 4

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $x$ de $4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 4}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Paso 5.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 4}{x \cdot x} + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Paso 5.1.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 4}{x \cdot x} + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Paso 5.1.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Paso 5.2.1.2

Divide $3$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{3 + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $x$ de $6 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{3 + \frac{x \cdot 6}{x^{2}}}$

Paso 5.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{3 + \frac{x \cdot 6}{x \cdot x}}$

Paso 5.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{3 + \frac{x \cdot 6}{x \cdot x}}$

Paso 5.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{3 + \frac{6}{x}}$

Paso 5.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{6}{x}}$

Paso 5.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{6}{x}}$

Paso 5.5

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{6}{x}}$

Paso 6

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{4 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{6}{x}}$

Paso 7

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{6}{x}}$

Paso 8

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{6}{x}}$

Paso 9

Evalúa el límite.

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Paso 9.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x}}$

Paso 9.2

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 4 \cdot 0}{3 + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x}}$

Paso 9.3

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 4 \cdot 0}{3 + 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 10

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 4 \cdot 0}{3 + 6 \cdot 0}$

Paso 11

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.1

Cancela el factor común de $4 \cdot 0 + 4 \cdot 0$ y $3 + 6 \cdot 0$ .

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Paso 11.1.1

Reordena los términos.

$\frac{0 \cdot 4 + 0 \cdot 4}{3 + 6 \cdot 0}$

Paso 11.1.2

Factoriza $3$ de $0 \cdot 4$ .

$\frac{3 (0 \cdot 4) + 0 \cdot 4}{3 + 6 \cdot 0}$

Paso 11.1.3

Factoriza $3$ de $0 \cdot 4$ .

$\frac{3 (0 \cdot 4) + 3 (0 \cdot 4)}{3 + 6 \cdot 0}$

Paso 11.1.4

Factoriza $3$ de $3 (0 \cdot 4) + 3 (0 \cdot 4)$ .

$\frac{3 (0 \cdot 4 + 0 \cdot 4)}{3 + 6 \cdot 0}$

Paso 11.1.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.1.5.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 (0 \cdot 4 + 0 \cdot 4)}{3 (1) + 6 \cdot 0}$

Paso 11.1.5.2

Factoriza $3$ de $6 \cdot 0$ .

$\frac{3 (0 \cdot 4 + 0 \cdot 4)}{3 (1) + 3 (2 \cdot 0)}$

Paso 11.1.5.3

Factoriza $3$ de $3 (1) + 3 (2 \cdot 0)$ .

$\frac{3 (0 \cdot 4 + 0 \cdot 4)}{3 (1 + 2 \cdot 0)}$

Paso 11.1.5.4

Cancela el factor común.

$\frac{3 (0 \cdot 4 + 0 \cdot 4)}{3 (1 + 2 \cdot 0)}$

Paso 11.1.5.5

Reescribe la expresión.

$\frac{0 \cdot 4 + 0 \cdot 4}{1 + 2 \cdot 0}$

Paso 11.2

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.1

Multiplica $0$ por $4$ .

$\frac{0 + 0 \cdot 4}{1 + 2 \cdot 0}$

Paso 11.2.2

Multiplica $0$ por $4$ .

$\frac{0 + 0}{1 + 2 \cdot 0}$

Paso 11.2.3

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{1 + 2 \cdot 0}$

Paso 11.3

Simplifica el denominador.

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Paso 11.3.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{0}{1 + 0}$

Paso 11.3.2

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{0}{1}$

Paso 11.4

Divide $0$ por $1$ .

$0$