Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \ln (7 x) - \ln (x + 8)$

Paso 1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$lim_{x \to \infty} \ln (\frac{7 x}{x + 8})$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\ln (lim_{x \to \infty} \frac{7 x}{x + 8})$

Paso 2.2

Mueve el término $7$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\ln (7 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + 8})$

Paso 3

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x$ .

$\ln (7 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{8}{x}})$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.1.1

Cancela el factor común.

$\ln (7 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{8}{x}})$

Paso 4.1.2

Reescribe la expresión.

$\ln (7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{8}{x}})$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común.

$\ln (7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{8}{x}})$

Paso 4.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{8}{x}})$

Paso 4.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\ln (7 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{8}{x}})$

Paso 4.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\ln (7 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{8}{x}})$

Paso 4.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\ln (7 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{8}{x}})$

Paso 4.6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\ln (7 \frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{8}{x}})$

Paso 4.7

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\ln (7 \frac{1}{1 + 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})$

Paso 5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\ln (7 \frac{1}{1 + 8 \cdot 0})$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Simplifica el denominador.

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Paso 6.1.1

Multiplica $8$ por $0$ .

$\ln (7 \frac{1}{1 + 0})$

Paso 6.1.2

Suma $1$ y $0$ .

$\ln (7 (\frac{1}{1}))$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común.

$\ln (7 (\frac{1}{1}))$

Paso 6.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (7 \cdot 1)$

Paso 6.3

Multiplica $7$ por $1$ .

$\ln (7)$