Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + \frac{a}{x})}{\frac{1}{x}}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (1 + \frac{a}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.2.1.1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to \infty} 1 + \frac{a}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 1.2.1.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{a}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 1.2.1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\ln (1 + lim_{x \to \infty} \frac{a}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 1.2.1.4

Mueve el término $a$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\ln (1 + a lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 1.2.2

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\ln (1 + a \cdot 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Multiplica $a$ por $0$ .

$\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 1.2.3.2

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 1.2.3.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 1.3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + \frac{a}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \frac{a}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \frac{a}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 1 + \frac{a}{x}$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + \frac{a}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + \frac{a}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \frac{a}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 3.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 3.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 3.6

Como $a$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{a}{x}$ con respecto a $x$ es $a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 3.7

Combina $a$ y $\frac{1}{1 + \frac{a}{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 3.8

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} (- x^{- 2})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 3.10

Combina $\frac{a}{1 + \frac{a}{x}}$ y $x^{- 2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a x^{- 2}}{1 + \frac{a}{x}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 3.11

Mueve $x^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{(1 + \frac{a}{x}) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 3.12

Simplifica.

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Paso 3.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{1 x^{2} + \frac{a}{x} x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 3.12.2

Combina los términos.

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Paso 3.12.2.1

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{a}{x} x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 3.12.2.2

Combina $\frac{a}{x}$ y $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{a x^{2}}{x}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 3.12.2.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 3.12.2.3.1

Factoriza $x$ de $a x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 3.12.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.12.2.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x^{1}}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 3.12.2.3.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x \cdot 1}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 3.12.2.3.2.3

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x \cdot 1}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 3.12.2.3.2.4

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{a x}{1}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 3.12.2.3.2.5

Divide $a x$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + a x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 3.12.3

Factoriza $x$ de $x^{2} + a x$ .

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Paso 3.12.3.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x \cdot x + a x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 3.12.3.2

Factoriza $x$ de $a x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x \cdot x + x a}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 3.12.3.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x a$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x (x + a)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 3.13

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x (x + a)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Paso 3.14

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x (x + a)}}{- x^{- 2}}$

Paso 3.15

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x (x + a)}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to \infty} - \frac{a}{x (x + a)} (- x^{2})$

Paso 5

Combina factores.

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Paso 5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} 1 \frac{a}{x (x + a)} x^{2}$

Paso 5.2

Multiplica $\frac{a}{x (x + a)}$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{a}{x (x + a)} x^{2}$

Paso 5.3

Combina $\frac{a}{x (x + a)}$ y $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{a x^{2}}{x (x + a)}$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $x$ de $a x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (a x)}{x (x + a)}$

Paso 6.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (a x)}{x (x + a)}$

Paso 6.1.2.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{a x}{x + a}$

Paso 6.2

Mueve el término $a$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$a lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + a}$

Paso 7

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x$ .

$a lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}$

Paso 8

Evalúa el límite.

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Paso 8.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.1.1

Cancela el factor común.

$a lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}$

Paso 8.1.2

Reescribe la expresión.

$a lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común.

$a lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}$

Paso 8.2.2

Reescribe la expresión.

$a lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{a}{x}}$

Paso 8.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$a \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{a}{x}}$

Paso 8.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$a \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{a}{x}}$

Paso 8.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$a \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{a}{x}}$

Paso 8.6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$a \frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{a}{x}}$

Paso 8.7

Mueve el término $a$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$a \frac{1}{1 + a lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 9

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$a \frac{1}{1 + a \cdot 0}$

Paso 10

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.1

Simplifica el denominador.

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Paso 10.1.1

Multiplica $a$ por $0$ .

$a \frac{1}{1 + 0}$

Paso 10.1.2

Suma $1$ y $0$ .

$a \frac{1}{1}$

Paso 10.2

Divide $1$ por $1$ .

$a \cdot 1$

Paso 10.3

Multiplica $a$ por $1$ .

$a$