Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt[3]{4 - x^{2}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{4 - x^{2}}$ como ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = 4 - x^{2}$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 - x^{2}$ .

$\frac{1}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Paso 1.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Paso 1.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Paso 1.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Paso 1.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Paso 1.1.6.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Paso 1.1.7

Combina fracciones.

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Paso 1.1.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} {(4 - x^{2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Paso 1.1.7.2

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(4 - x^{2})}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Paso 1.1.7.3

Mueve ${(4 - x^{2})}^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Paso 1.1.8

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 1.1.9

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 1.1.10

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.1.11

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.1.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}} (- (2 x))$

Paso 1.1.13

Combina fracciones.

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Paso 1.1.13.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}} (- 2 x)$

Paso 1.1.13.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 2}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}} x$

Paso 1.1.13.3

Combina $\frac{- 2}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$ y $x$ .

$\frac{- 2 x}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.1.13.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{2 x}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{2 x}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{2 x}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{2 x}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{2 x}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 x = 0$

Paso 2.3

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x = 0$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$- \frac{2 x}{3 \sqrt[3]{{(4 - x^{2})}^{2}}}$

Paso 3.2

Establece el denominador en $\frac{2 x}{3 \sqrt[3]{{(4 - x^{2})}^{2}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 \sqrt[3]{{(4 - x^{2})}^{2}} = 0$

Paso 3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${(3 \sqrt[3]{{(4 - x^{2})}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{{(4 - x^{2})}^{2}}$ como ${(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

Simplifica ${(3 {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $3 {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 {({(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$27 {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$27 {(4 - x^{2})}^{2} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$27 {(4 - x^{2})}^{2} = 0$

Paso 3.3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.3.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.3.3.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$27 {(2^{2} - x^{2})}^{2} = 0$

Paso 3.3.3.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2$ y $b = x$ .

$27 {((2 + x) (2 - x))}^{2} = 0$

Paso 3.3.3.1.3

Factoriza.

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Paso 3.3.3.1.3.1

Aplica la regla del producto a $(2 + x) (2 - x)$ .

$27 ({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}) = 0$

Paso 3.3.3.1.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$27 {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} = 0$

Paso 3.3.3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(2 + x)}^{2} = 0$

${(2 - x)}^{2} = 0$

Paso 3.3.3.3

Establece ${(2 + x)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.3.3.1

Establece ${(2 + x)}^{2}$ igual a $0$ .

${(2 + x)}^{2} = 0$

Paso 3.3.3.3.2

Resuelve ${(2 + x)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.3.3.3.2.1

Establece $2 + x$ igual a $0$ .

$2 + x = 0$

Paso 3.3.3.3.2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 3.3.3.4

Establece ${(2 - x)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.3.4.1

Establece ${(2 - x)}^{2}$ igual a $0$ .

${(2 - x)}^{2} = 0$

Paso 3.3.3.4.2

Resuelve ${(2 - x)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.3.3.4.2.1

Establece $2 - x$ igual a $0$ .

$2 - x = 0$

Paso 3.3.3.4.2.2

Resuelve $x$

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Paso 3.3.3.4.2.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 2$

Paso 3.3.3.4.2.2.2

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.4.2.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 3.3.3.4.2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.4.2.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 3.3.3.4.2.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 3.3.3.4.2.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.4.2.2.2.3.1

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Paso 3.3.3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $27 {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} = 0$ verdadera.

$x = - 2, 2$

Paso 3.4

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Paso 4

Evalúa $\sqrt[3]{4 - x^{2}}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\sqrt[3]{4 - {(0)}^{2}}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\sqrt[3]{4 - 0}$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\sqrt[3]{4 + 0}$

Paso 4.1.2.3

Suma $4$ y $0$ .

$\sqrt[3]{4}$

Paso 4.2

Evalúa en $x = - 2$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $- 2$ por $x$ .

$\sqrt[3]{4 - {(- 2)}^{2}}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt[3]{4 - 1 \cdot 4}$

Paso 4.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\sqrt[3]{4 - 4}$

Paso 4.2.2.3

Resta $4$ de $4$ .

$\sqrt[3]{0}$

Paso 4.2.2.4

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$\sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 4.2.2.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$0$

Paso 4.3

Evalúa en $x = 2$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$\sqrt[3]{4 - {(2)}^{2}}$

Paso 4.3.2

Simplifica.

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Paso 4.3.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt[3]{4 - 1 \cdot 4}$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\sqrt[3]{4 - 4}$

Paso 4.3.2.3

Resta $4$ de $4$ .

$\sqrt[3]{0}$

Paso 4.3.2.4

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$\sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 4.3.2.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$0$

Paso 4.4

Enumera todos los puntos.

$(0, \sqrt[3]{4}), (- 2, 0), (2, 0)$

Paso 5