Cálculo Ejemplos

$f (x) = 7 {(- 3 x^{2} + 12)}^{2} + 1$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $7 {(- 3 x^{2} + 12)}^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 {(- 3 x^{2} + 12)}^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(- 3 x^{2} + 12)}^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [7 {(- 3 x^{2} + 12)}^{2}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 {(- 3 x^{2} + 12)}^{2}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [{(- 3 x^{2} + 12)}^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [{(- 3 x^{2} + 12)}^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = - 3 x^{2} + 12$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- 3 x^{2} + 12$ .

$7 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 12]) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$7 (2 u \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 12]) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 3 x^{2} + 12$ .

$7 (2 (- 3 x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 12]) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $- 3 x^{2} + 12$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$7 (2 (- 3 x^{2} + 12) (\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12])) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.2.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 (2 (- 3 x^{2} + 12) (- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12])) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$7 (2 (- 3 x^{2} + 12) (- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [12])) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.2.6

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12$ con respecto a $x$ es $0$ .

$7 (2 (- 3 x^{2} + 12) (- 3 (2 x) + 0)) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.2.7

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$7 (2 (- 3 x^{2} + 12) (- 6 x + 0)) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.2.8

Suma $- 6 x$ y $0$ .

$7 (2 (- 3 x^{2} + 12) (- 6 x)) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.2.9

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$7 (- 12 (- 3 x^{2} + 12) x) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.2.10

Multiplica $- 12$ por $7$ .

$- 84 (- 3 x^{2} + 12) x + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 84 (- 3 x^{2} + 12) x + 0$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(- 84 (- 3 x^{2}) - 84 \cdot 12) x + 0$

Paso 1.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 84 (- 3 x^{2}) x - 84 \cdot 12 x + 0$

Paso 1.1.4.3

Combina los términos.

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Paso 1.1.4.3.1

Multiplica $- 3$ por $- 84$ .

$252 x^{2} x - 84 \cdot 12 x + 0$

Paso 1.1.4.3.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$252 (x^{1} x^{2}) - 84 \cdot 12 x + 0$

Paso 1.1.4.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$252 x^{1 + 2} - 84 \cdot 12 x + 0$

Paso 1.1.4.3.4

Suma $1$ y $2$ .

$252 x^{3} - 84 \cdot 12 x + 0$

Paso 1.1.4.3.5

Multiplica $- 84$ por $12$ .

$252 x^{3} - 1008 x + 0$

Paso 1.1.4.3.6

Suma $252 x^{3} - 1008 x$ y $0$ .

$f' (x) = 252 x^{3} - 1008 x$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $252 x^{3} - 1008 x$ .

$252 x^{3} - 1008 x$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $252 x^{3} - 1008 x = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$252 x^{3} - 1008 x = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Factoriza $252 x$ de $252 x^{3} - 1008 x$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $252 x$ de $252 x^{3}$ .

$252 x (x^{2}) - 1008 x = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $252 x$ de $- 1008 x$ .

$252 x (x^{2}) + 252 x (- 4) = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $252 x$ de $252 x (x^{2}) + 252 x (- 4)$ .

$252 x (x^{2} - 4) = 0$

Paso 2.2.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$252 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza.

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Paso 2.2.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$252 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Paso 2.2.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$252 x (x + 2) (x - 2) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 2.6

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.6.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 2.6.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $252 x (x + 2) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 2, 2$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $7 {(- 3 x^{2} + 12)}^{2} + 1$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$7 {(- 3 {(0)}^{2} + 12)}^{2} + 1$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$7 {(- 3 \cdot 0 + 12)}^{2} + 1$

Paso 4.1.2.1.1.2

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$7 {(0 + 12)}^{2} + 1$

Paso 4.1.2.1.2

Suma $0$ y $12$ .

$7 \cdot 12^{2} + 1$

Paso 4.1.2.1.3

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$7 \cdot 144 + 1$

Paso 4.1.2.1.4

Multiplica $7$ por $144$ .

$1008 + 1$

Paso 4.1.2.2

Suma $1008$ y $1$ .

$1009$

Paso 4.2

Evalúa en $x = - 2$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $- 2$ por $x$ .

$7 {(- 3 {(- 2)}^{2} + 12)}^{2} + 1$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$7 {(- 3 \cdot 4 + 12)}^{2} + 1$

Paso 4.2.2.1.1.2

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$7 {(- 12 + 12)}^{2} + 1$

Paso 4.2.2.1.2

Suma $- 12$ y $12$ .

$7 \cdot 0^{2} + 1$

Paso 4.2.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$7 \cdot 0 + 1$

Paso 4.2.2.1.4

Multiplica $7$ por $0$ .

$0 + 1$

Paso 4.2.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 4.3

Evalúa en $x = 2$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$7 {(- 3 {(2)}^{2} + 12)}^{2} + 1$

Paso 4.3.2

Simplifica.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$7 {(- 3 \cdot 4 + 12)}^{2} + 1$

Paso 4.3.2.1.1.2

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$7 {(- 12 + 12)}^{2} + 1$

Paso 4.3.2.1.2

Suma $- 12$ y $12$ .

$7 \cdot 0^{2} + 1$

Paso 4.3.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$7 \cdot 0 + 1$

Paso 4.3.2.1.4

Multiplica $7$ por $0$ .

$0 + 1$

Paso 4.3.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 4.4

Enumera todos los puntos.

$(0, 1009), (- 2, 1), (2, 1)$

Paso 5