Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{(\ln (x))}{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 1.1.3.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$1 - \ln (x) = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \ln (x) = - 1$

Paso 2.3.2

Divide cada término en $- \ln (x) = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Divide cada término en $- \ln (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\ln (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.3.2.2.2

Divide $\ln (x)$ por $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (x) = 1$

Paso 2.3.3

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{1}$

Paso 2.3.4

Reescribe $\ln (x) = 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x$

Paso 2.3.5

Reescribe la ecuación como $x = e^{1}$ .

$x = e$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 3.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 3.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 3.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 3.3

Establece el argumento en $\ln (x)$ menor o igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x \leq 0$

Paso 3.4

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Paso 4

Evalúa $\frac{\ln (x)}{x}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Evalúa en $x = e$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Sustituye $e$ por $x$ .

$\frac{\ln (e)}{e}$

Paso 4.1.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\frac{1}{e}$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\frac{\ln (0)}{0}$

Paso 4.2.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(e, \frac{1}{e})$

Paso 5