Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sin (x) + x^{3} - 7 x + 2$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (x) + x^{3} - 7 x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\cos (x) + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

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Paso 1.4.1

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7 x$ con respecto a $x$ es $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (x) + 3 x^{2} - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (x) + 3 x^{2} - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.4.3

Multiplica $- 7$ por $1$ .

$\cos (x) + 3 x^{2} - 7 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.5

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\cos (x) + 3 x^{2} - 7 + 0$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Suma $\cos (x) + 3 x^{2} - 7$ y $0$ .

$\cos (x) + 3 x^{2} - 7$

Paso 1.6.2

Reordena los términos.

$f' (x) = 3 x^{2} - 7 + \cos (x)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 7 + \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 7] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 2.3

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 x + 0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 2.4

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$6 x + 0 - \sin (x)$

Paso 2.5

Suma $6 x$ y $0$ .

$f'' (x) = 6 x - \sin (x)$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x - \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Paso 3.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Paso 3.2.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 3.3.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f''' (x) = 6 - \cos (x)$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Diferencia.

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 - \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Paso 4.1.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Paso 4.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 4.2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$0 - - \sin (x)$

Paso 4.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$0 + 1 \sin (x)$

Paso 4.2.4

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$0 + \sin (x)$

Paso 4.3

Suma $0$ y $\sin (x)$ .

$f^{4} (x) = \sin (x)$

Paso 5

La cuarta derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\sin (x)$ .

$\sin (x)$