Cálculo Ejemplos

$f (x) = 6 x^{5} + 4 x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x} - 10 e^{\frac{x}{2}} + 3^{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x^{5} + 4 x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x} - 10 e^{\frac{x}{2}} + 3^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{5}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 1.2.3

Multiplica $5$ por $6$ .

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x}]$ .

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Paso 1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{3}})] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 1.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 1.3.3

Para escribir $\frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 1.3.4

Para escribir $\frac{1}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 1.3.5

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.3.5.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 1.3.5.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{6} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 1.3.5.3

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{6} + \frac{2}{3 \cdot 2}}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 1.3.5.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{6} + \frac{2}{6}}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 1.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3 + 2}{6}}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 1.3.7

Suma $3$ y $2$ .

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 1.3.8

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{\frac{5}{6}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{6}}]$ .

$30 x^{4} + 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 1.3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{5}{6}$ .

$30 x^{4} + 4 (\frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 1.3.10

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$30 x^{4} + 4 (\frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}}) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 1.3.11

Combina $- 1$ y $\frac{6}{6}$ .

$30 x^{4} + 4 (\frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}}) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 1.3.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$30 x^{4} + 4 (\frac{5}{6} x^{\frac{5 - 1 \cdot 6}{6}}) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 1.3.13

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.13.1

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$30 x^{4} + 4 (\frac{5}{6} x^{\frac{5 - 6}{6}}) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 1.3.13.2

Resta $6$ de $5$ .

$30 x^{4} + 4 (\frac{5}{6} x^{\frac{- 1}{6}}) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 1.3.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$30 x^{4} + 4 (\frac{5}{6} x^{- \frac{1}{6}}) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 1.3.15

Combina $\frac{5}{6}$ y $x^{- \frac{1}{6}}$ .

$30 x^{4} + 4 \frac{5 x^{- \frac{1}{6}}}{6} + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 1.3.16

Combina $4$ y $\frac{5 x^{- \frac{1}{6}}}{6}$ .

$30 x^{4} + \frac{4 (5 x^{- \frac{1}{6}})}{6} + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 1.3.17

Multiplica $5$ por $4$ .

$30 x^{4} + \frac{20 x^{- \frac{1}{6}}}{6} + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 1.3.18

Mueve $x^{- \frac{1}{6}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$30 x^{4} + \frac{20}{6 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 1.3.19

Factoriza $2$ de $20$ .

$30 x^{4} + \frac{2 (10)}{6 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 1.3.20

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.20.1

Factoriza $2$ de $6 x^{\frac{1}{6}}$ .

$30 x^{4} + \frac{2 (10)}{2 (3 x^{\frac{1}{6}})} + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 1.3.20.2

Cancela el factor común.

$30 x^{4} + \frac{2 \cdot 10}{2 (3 x^{\frac{1}{6}})} + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 1.3.20.3

Reescribe la expresión.

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}]$ .

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Paso 1.4.1

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 10 e^{\frac{x}{2}}$ con respecto a $x$ es $- 10 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]$ .

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} - 10 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Paso 1.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{2}$ .

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} - 10 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 1.4.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} - 10 (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 1.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} - 10 (e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 1.4.3

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} - 10 (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 1.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} - 10 (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 1.4.5

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} - 10 (e^{\frac{x}{2}} \frac{1}{2}) + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 1.4.6

Combina $e^{\frac{x}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} - 10 \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 1.4.7

Combina $- 10$ y $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ .

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{- 10 e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 1.4.8

Cancela el factor común de $- 10$ y $2$ .

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Paso 1.4.8.1

Factoriza $2$ de $- 10 e^{\frac{x}{2}}$ .

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{2 (- 5 e^{\frac{x}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 1.4.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.8.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{2 (- 5 e^{\frac{x}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 1.4.8.2.2

Cancela el factor común.

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{2 (- 5 e^{\frac{x}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 1.4.8.2.3

Reescribe la expresión.

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{- 5 e^{\frac{x}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 1.4.8.2.4

Divide $- 5 e^{\frac{x}{2}}$ por $1$ .

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} - 5 e^{\frac{x}{2}} + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 1.5

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $3$ .

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} - 5 e^{\frac{x}{2}} + 3^{x} \ln (3)$

Paso 1.6

Reordena los términos.

$f' (x) = 30 x^{4} + 3^{x} \ln (3) + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} - 5 e^{\frac{x}{2}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $30 x^{4} + 3^{x} \ln (3) + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} - 5 e^{\frac{x}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [30 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln (3)] + \frac{d}{d x} [\frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [30 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln (3)] + \frac{d}{d x} [\frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [30 x^{4}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $30$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $30 x^{4}$ con respecto a $x$ es $30 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$30 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln (3)] + \frac{d}{d x} [\frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$30 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln (3)] + \frac{d}{d x} [\frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.2.3

Multiplica $4$ por $30$ .

$120 x^{3} + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln (3)] + \frac{d}{d x} [\frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3^{x} \ln (3)]$ .

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Paso 2.3.1

Como $\ln (3)$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3^{x} \ln (3)$ con respecto a $x$ es $\ln (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$ .

$120 x^{3} + \ln (3) \frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $3$ .

$120 x^{3} + \ln (3) (3^{x} \ln (3)) + \frac{d}{d x} [\frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.3.3

Eleva $\ln (3)$ a la potencia de $1$ .

$120 x^{3} + 3^{x} (\ln^{1} (3) \ln (3)) + \frac{d}{d x} [\frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.3.4

Eleva $\ln (3)$ a la potencia de $1$ .

$120 x^{3} + 3^{x} (\ln^{1} (3) \ln^{1} (3)) + \frac{d}{d x} [\frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$120 x^{3} + 3^{x} {\ln (3)}^{1 + 1} + \frac{d}{d x} [\frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.3.6

Suma $1$ y $1$ .

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{d}{d x} [\frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $\frac{10}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{6}}}]$ .

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.4.2

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{1}{6}}}$ como ${(x^{\frac{1}{6}})}^{- 1}$ .

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{6}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{1}{6}}$ .

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Paso 2.4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{\frac{1}{6}}$ .

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{6}}]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{6}}]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{\frac{1}{6}}$ .

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- {(x^{\frac{1}{6}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{6}}]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{6}$ .

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- {(x^{\frac{1}{6}})}^{- 2} (\frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.4.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{6}})}^{- 2}$ .

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Paso 2.4.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- x^{\frac{1}{6} \cdot - 2} (\frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.4.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.5.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- x^{\frac{1}{2 (3)} \cdot - 2} (\frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.4.5.2.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- x^{\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.4.5.2.3

Cancela el factor común.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- x^{\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.4.5.2.4

Reescribe la expresión.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} (\frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.4.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 1$ .

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- x^{\frac{- 1}{3}} (\frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.4.5.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- x^{- \frac{1}{3}} (\frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.4.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- x^{- \frac{1}{3}} (\frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}})) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.4.7

Combina $- 1$ y $\frac{6}{6}$ .

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- x^{- \frac{1}{3}} (\frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}})) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.4.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- x^{- \frac{1}{3}} (\frac{1}{6} x^{\frac{1 - 1 \cdot 6}{6}})) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.4.9

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.9.1

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- x^{- \frac{1}{3}} (\frac{1}{6} x^{\frac{1 - 6}{6}})) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.4.9.2

Resta $6$ de $1$ .

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- x^{- \frac{1}{3}} (\frac{1}{6} x^{\frac{- 5}{6}})) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.4.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- x^{- \frac{1}{3}} (\frac{1}{6} x^{- \frac{5}{6}})) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.4.11

Combina $\frac{1}{6}$ y $x^{- \frac{5}{6}}$ .

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- x^{- \frac{1}{3}} \frac{x^{- \frac{5}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.4.12

Combina $\frac{x^{- \frac{5}{6}}}{6}$ y $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- \frac{x^{- \frac{5}{6}} x^{- \frac{1}{3}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.4.13

Multiplica $x^{- \frac{5}{6}}$ por $x^{- \frac{1}{3}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.13.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- \frac{x^{- \frac{5}{6} - \frac{1}{3}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.4.13.2

Para escribir $- \frac{1}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- \frac{x^{- \frac{5}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.4.13.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.13.3.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- \frac{x^{- \frac{5}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.4.13.3.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- \frac{x^{- \frac{5}{6} - \frac{2}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.4.13.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- \frac{x^{\frac{- 5 - 2}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.4.13.5

Resta $2$ de $- 5$ .

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- \frac{x^{\frac{- 7}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.4.13.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- \frac{x^{- \frac{7}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.4.14

Mueve $x^{- \frac{7}{6}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- \frac{1}{6 x^{\frac{7}{6}}}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.4.15

Multiplica $\frac{10}{3}$ por $\frac{1}{6 x^{\frac{7}{6}}}$ .

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{10}{3 (6 x^{\frac{7}{6}})} + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.4.16

Multiplica $6$ por $3$ .

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{10}{18 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.4.17

Factoriza $2$ de $10$ .

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{2 (5)}{18 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.4.18

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.18.1

Factoriza $2$ de $18 x^{\frac{7}{6}}$ .

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{2 (5)}{2 (9 x^{\frac{7}{6}})} + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.4.18.2

Cancela el factor común.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{2 \cdot 5}{2 (9 x^{\frac{7}{6}})} + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.4.18.3

Reescribe la expresión.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$ .

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Paso 2.5.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 e^{\frac{x}{2}}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]$ .

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}} - 5 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Paso 2.5.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\frac{x}{2}$ .

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}} - 5 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Paso 2.5.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}} - 5 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Paso 2.5.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\frac{x}{2}$ .

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}} - 5 (e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Paso 2.5.3

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}} - 5 (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 2.5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}} - 5 (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1))$

Paso 2.5.5

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}} - 5 (e^{\frac{x}{2}} \frac{1}{2})$

Paso 2.5.6

Combina $e^{\frac{x}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}} - 5 \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Paso 2.5.7

Combina $- 5$ y $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ .

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{- 5 e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Paso 2.5.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = 120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}} - \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}} - \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [120 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln^{2} (3)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [120 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln^{2} (3)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [120 x^{3}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $120$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $120 x^{3}$ con respecto a $x$ es $120 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$120 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln^{2} (3)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$120 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln^{2} (3)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.2.3

Multiplica $3$ por $120$ .

$360 x^{2} + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln^{2} (3)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3^{x} \ln^{2} (3)]$ .

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Paso 3.3.1

Como $\ln^{2} (3)$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3^{x} \ln^{2} (3)$ con respecto a $x$ es $\ln^{2} (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$ .

$360 x^{2} + \ln^{2} (3) \frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $3$ .

$360 x^{2} + \ln^{2} (3) (3^{x} \ln (3)) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.3.3

Multiplica $\ln^{2} (3)$ por $\ln (3)$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.1

Mueve $\ln (3)$ .

$360 x^{2} + \ln (3) \ln^{2} (3) \cdot 3^{x} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.3.3.2

Multiplica $\ln (3)$ por $\ln^{2} (3)$ .

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Paso 3.3.3.2.1

Eleva $\ln (3)$ a la potencia de $1$ .

$360 x^{2} + \ln^{1} (3) \ln^{2} (3) \cdot 3^{x} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.3.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$360 x^{2} + {\ln (3)}^{1 + 2} \cdot 3^{x} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.3.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Como $- \frac{5}{9}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{5}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{7}{6}}}]$ .

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{7}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.4.2

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{7}{6}}}$ como ${(x^{\frac{7}{6}})}^{- 1}$ .

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{7}{6}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{7}{6}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{\frac{7}{6}}$ .

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{6}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{6}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{\frac{7}{6}}$ .

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- {(x^{\frac{7}{6}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{6}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{7}{6}$ .

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- {(x^{\frac{7}{6}})}^{- 2} (\frac{7}{6} x^{\frac{7}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.4.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{7}{6}})}^{- 2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- x^{\frac{7}{6} \cdot - 2} (\frac{7}{6} x^{\frac{7}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.4.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.5.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- x^{\frac{7}{2 (3)} \cdot - 2} (\frac{7}{6} x^{\frac{7}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.4.5.2.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- x^{\frac{7}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{7}{6} x^{\frac{7}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.4.5.2.3

Cancela el factor común.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- x^{\frac{7}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{7}{6} x^{\frac{7}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.4.5.2.4

Reescribe la expresión.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- x^{\frac{7}{3} \cdot - 1} (\frac{7}{6} x^{\frac{7}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.4.5.3

Combina $\frac{7}{3}$ y $- 1$ .

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- x^{\frac{7 \cdot - 1}{3}} (\frac{7}{6} x^{\frac{7}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.4.5.4

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- x^{\frac{- 7}{3}} (\frac{7}{6} x^{\frac{7}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.4.5.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- x^{- \frac{7}{3}} (\frac{7}{6} x^{\frac{7}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.4.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- x^{- \frac{7}{3}} (\frac{7}{6} x^{\frac{7}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.4.7

Combina $- 1$ y $\frac{6}{6}$ .

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- x^{- \frac{7}{3}} (\frac{7}{6} x^{\frac{7}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.4.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- x^{- \frac{7}{3}} (\frac{7}{6} x^{\frac{7 - 1 \cdot 6}{6}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.4.9

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.9.1

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- x^{- \frac{7}{3}} (\frac{7}{6} x^{\frac{7 - 6}{6}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.4.9.2

Resta $6$ de $7$ .

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- x^{- \frac{7}{3}} (\frac{7}{6} x^{\frac{1}{6}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.4.10

Combina $\frac{7}{6}$ y $x^{\frac{1}{6}}$ .

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- x^{- \frac{7}{3}} \frac{7 x^{\frac{1}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.4.11

Combina $\frac{7 x^{\frac{1}{6}}}{6}$ y $x^{- \frac{7}{3}}$ .

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- \frac{7 x^{\frac{1}{6}} x^{- \frac{7}{3}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.4.12

Multiplica $x^{\frac{1}{6}}$ por $x^{- \frac{7}{3}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.12.1

Mueve $x^{- \frac{7}{3}}$ .

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- \frac{7 (x^{- \frac{7}{3}} x^{\frac{1}{6}})}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.4.12.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- \frac{7 x^{- \frac{7}{3} + \frac{1}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.4.12.3

Para escribir $- \frac{7}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- \frac{7 x^{- \frac{7}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.4.12.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.12.4.1

Multiplica $\frac{7}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- \frac{7 x^{- \frac{7 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.4.12.4.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- \frac{7 x^{- \frac{7 \cdot 2}{6} + \frac{1}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.4.12.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- \frac{7 x^{\frac{- 7 \cdot 2 + 1}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.4.12.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.12.6.1

Multiplica $- 7$ por $2$ .

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- \frac{7 x^{\frac{- 14 + 1}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.4.12.6.2

Suma $- 14$ y $1$ .

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- \frac{7 x^{\frac{- 13}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.4.12.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- \frac{7 x^{- \frac{13}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.4.13

Mueve $x^{- \frac{13}{6}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- \frac{7}{6 x^{\frac{13}{6}}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.4.14

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + 1 (\frac{5}{9}) \frac{7}{6 x^{\frac{13}{6}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.4.15

Multiplica $\frac{5}{9}$ por $1$ .

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{5}{9} \cdot \frac{7}{6 x^{\frac{13}{6}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.4.16

Multiplica $\frac{5}{9}$ por $\frac{7}{6 x^{\frac{13}{6}}}$ .

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{5 \cdot 7}{9 (6 x^{\frac{13}{6}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.4.17

Multiplica $5$ por $7$ .

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{9 (6 x^{\frac{13}{6}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.4.18

Multiplica $6$ por $9$ .

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Paso 3.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$ .

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Paso 3.5.1

Como $- \frac{5}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]$ .

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}} - \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 3.5.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Paso 3.5.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\frac{x}{2}$ .

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}} - \frac{5}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Paso 3.5.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}} - \frac{5}{2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Paso 3.5.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\frac{x}{2}$ .

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}} - \frac{5}{2} (e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Paso 3.5.3

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}} - \frac{5}{2} (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 3.5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}} - \frac{5}{2} (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1))$

Paso 3.5.5

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}} - \frac{5}{2} (e^{\frac{x}{2}} \frac{1}{2})$

Paso 3.5.6

Combina $e^{\frac{x}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}} - \frac{5}{2} \cdot \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Paso 3.5.7

Multiplica $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ por $\frac{5}{2}$ .

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}} - \frac{e^{\frac{x}{2}} \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Paso 3.5.8

Multiplica $2$ por $2$ .

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}} - \frac{e^{\frac{x}{2}} \cdot 5}{4}$

Paso 3.5.9

Mueve $5$ a la izquierda de $e^{\frac{x}{2}}$ .

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}} - \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}$

Paso 3.6

Reordena los términos.

$f''' (x) = 360 x^{2} + 3^{x} \ln^{3} (3) + \frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}} - \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $360 x^{2} + 3^{x} \ln^{3} (3) + \frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}} - \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [360 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln^{3} (3)] + \frac{d}{d x} [\frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [360 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln^{3} (3)] + \frac{d}{d x} [\frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [360 x^{2}]$ .

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Paso 4.2.1

Como $360$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $360 x^{2}$ con respecto a $x$ es $360 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$360 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln^{3} (3)] + \frac{d}{d x} [\frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$360 (2 x) + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln^{3} (3)] + \frac{d}{d x} [\frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

Paso 4.2.3

Multiplica $2$ por $360$ .

$720 x + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln^{3} (3)] + \frac{d}{d x} [\frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

Paso 4.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3^{x} \ln^{3} (3)]$ .

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Paso 4.3.1

Como $\ln^{3} (3)$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3^{x} \ln^{3} (3)$ con respecto a $x$ es $\ln^{3} (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$ .

$720 x + \ln^{3} (3) \frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $3$ .

$720 x + \ln^{3} (3) (3^{x} \ln (3)) + \frac{d}{d x} [\frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

Paso 4.3.3

Multiplica $\ln^{3} (3)$ por $\ln (3)$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.3.1

Mueve $\ln (3)$ .

$720 x + \ln (3) \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

Paso 4.3.3.2

Multiplica $\ln (3)$ por $\ln^{3} (3)$ .

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Paso 4.3.3.2.1

Eleva $\ln (3)$ a la potencia de $1$ .

$720 x + \ln^{1} (3) \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

Paso 4.3.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$720 x + {\ln (3)}^{1 + 3} \cdot 3^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

Paso 4.3.3.3

Suma $1$ y $3$ .

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

Paso 4.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}}]$ .

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Paso 4.4.1

Como $\frac{35}{54}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{35}{54} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{13}{6}}}]$ .

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{13}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

Paso 4.4.2

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{13}{6}}}$ como ${(x^{\frac{13}{6}})}^{- 1}$ .

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{13}{6}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

Paso 4.4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{13}{6}}$ .

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Paso 4.4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{\frac{13}{6}}$ .

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{13}{6}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

Paso 4.4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{13}{6}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

Paso 4.4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{\frac{13}{6}}$ .

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- {(x^{\frac{13}{6}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{13}{6}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

Paso 4.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{13}{6}$ .

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- {(x^{\frac{13}{6}})}^{- 2} (\frac{13}{6} x^{\frac{13}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

Paso 4.4.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{13}{6}})}^{- 2}$ .

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Paso 4.4.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- x^{\frac{13}{6} \cdot - 2} (\frac{13}{6} x^{\frac{13}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

Paso 4.4.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.4.5.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- x^{\frac{13}{2 (3)} \cdot - 2} (\frac{13}{6} x^{\frac{13}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

Paso 4.4.5.2.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- x^{\frac{13}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{13}{6} x^{\frac{13}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

Paso 4.4.5.2.3

Cancela el factor común.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- x^{\frac{13}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{13}{6} x^{\frac{13}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

Paso 4.4.5.2.4

Reescribe la expresión.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- x^{\frac{13}{3} \cdot - 1} (\frac{13}{6} x^{\frac{13}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

Paso 4.4.5.3

Combina $\frac{13}{3}$ y $- 1$ .

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- x^{\frac{13 \cdot - 1}{3}} (\frac{13}{6} x^{\frac{13}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

Paso 4.4.5.4

Multiplica $13$ por $- 1$ .

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- x^{\frac{- 13}{3}} (\frac{13}{6} x^{\frac{13}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

Paso 4.4.5.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- x^{- \frac{13}{3}} (\frac{13}{6} x^{\frac{13}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

Paso 4.4.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- x^{- \frac{13}{3}} (\frac{13}{6} x^{\frac{13}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

Paso 4.4.7

Combina $- 1$ y $\frac{6}{6}$ .

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- x^{- \frac{13}{3}} (\frac{13}{6} x^{\frac{13}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

Paso 4.4.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- x^{- \frac{13}{3}} (\frac{13}{6} x^{\frac{13 - 1 \cdot 6}{6}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

Paso 4.4.9

Simplifica el numerador.

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Paso 4.4.9.1

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- x^{- \frac{13}{3}} (\frac{13}{6} x^{\frac{13 - 6}{6}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

Paso 4.4.9.2

Resta $6$ de $13$ .

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- x^{- \frac{13}{3}} (\frac{13}{6} x^{\frac{7}{6}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

Paso 4.4.10

Combina $\frac{13}{6}$ y $x^{\frac{7}{6}}$ .

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- x^{- \frac{13}{3}} \frac{13 x^{\frac{7}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

Paso 4.4.11

Combina $\frac{13 x^{\frac{7}{6}}}{6}$ y $x^{- \frac{13}{3}}$ .

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- \frac{13 x^{\frac{7}{6}} x^{- \frac{13}{3}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

Paso 4.4.12

Multiplica $x^{\frac{7}{6}}$ por $x^{- \frac{13}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.4.12.1

Mueve $x^{- \frac{13}{3}}$ .

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- \frac{13 (x^{- \frac{13}{3}} x^{\frac{7}{6}})}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

Paso 4.4.12.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- \frac{13 x^{- \frac{13}{3} + \frac{7}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

Paso 4.4.12.3

Para escribir $- \frac{13}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- \frac{13 x^{- \frac{13}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

Paso 4.4.12.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.4.12.4.1

Multiplica $\frac{13}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- \frac{13 x^{- \frac{13 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{7}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

Paso 4.4.12.4.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- \frac{13 x^{- \frac{13 \cdot 2}{6} + \frac{7}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

Paso 4.4.12.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- \frac{13 x^{\frac{- 13 \cdot 2 + 7}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

Paso 4.4.12.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.4.12.6.1

Multiplica $- 13$ por $2$ .

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- \frac{13 x^{\frac{- 26 + 7}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

Paso 4.4.12.6.2

Suma $- 26$ y $7$ .

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- \frac{13 x^{\frac{- 19}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

Paso 4.4.12.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- \frac{13 x^{- \frac{19}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

Paso 4.4.13

Mueve $x^{- \frac{19}{6}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- \frac{13}{6 x^{\frac{19}{6}}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

Paso 4.4.14

Multiplica $\frac{35}{54}$ por $\frac{13}{6 x^{\frac{19}{6}}}$ .

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} - \frac{35 \cdot 13}{54 (6 x^{\frac{19}{6}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

Paso 4.4.15

Multiplica $35$ por $13$ .

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} - \frac{455}{54 (6 x^{\frac{19}{6}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

Paso 4.4.16

Multiplica $6$ por $54$ .

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

Paso 4.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$ .

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Paso 4.5.1

Como $- \frac{5}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]$ .

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} - \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]$

Paso 4.5.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Paso 4.5.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\frac{x}{2}$ .

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} - \frac{5}{4} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Paso 4.5.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} - \frac{5}{4} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Paso 4.5.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\frac{x}{2}$ .

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} - \frac{5}{4} (e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Paso 4.5.3

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} - \frac{5}{4} (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 4.5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} - \frac{5}{4} (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1))$

Paso 4.5.5

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} - \frac{5}{4} (e^{\frac{x}{2}} \frac{1}{2})$

Paso 4.5.6

Combina $e^{\frac{x}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} - \frac{5}{4} \cdot \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Paso 4.5.7

Multiplica $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ por $\frac{5}{4}$ .

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} - \frac{e^{\frac{x}{2}} \cdot 5}{2 \cdot 4}$

Paso 4.5.8

Multiplica $2$ por $4$ .

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} - \frac{e^{\frac{x}{2}} \cdot 5}{8}$

Paso 4.5.9

Mueve $5$ a la izquierda de $e^{\frac{x}{2}}$ .

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} - \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{8}$

Paso 4.6

Reordena los términos.

$f^{4} (x) = 3^{x} \ln^{4} (3) + 720 x - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} - \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{8}$

Paso 5

La cuarta derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3^{x} \ln^{4} (3) + 720 x - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} - \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{8}$ .

$3^{x} \ln^{4} (3) + 720 x - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} - \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{8}$