Cálculo Ejemplos

$f (x) = (2 x^{3} + 3 x) (x - 1) (x + 3)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = (2 x^{3} + 3 x) (x - 1)$ y $g (x) = x + 3$ .

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3] + (x + 3) \frac{d}{d x} [(2 x^{3} + 3 x) (x - 1)]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [(2 x^{3} + 3 x) (x - 1)]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [(2 x^{3} + 3 x) (x - 1)]$

Paso 1.2.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) (1 + 0) + (x + 3) \frac{d}{d x} [(2 x^{3} + 3 x) (x - 1)]$

Paso 1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) \cdot 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} [(2 x^{3} + 3 x) (x - 1)]$

Paso 1.2.4.2

Multiplica $2 x^{3} + 3 x$ por $1$ .

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) \frac{d}{d x} [(2 x^{3} + 3 x) (x - 1)]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 2 x^{3} + 3 x$ y $g (x) = x - 1$ .

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) ((2 x^{3} + 3 x) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3 x])$

Paso 1.4

Diferencia.

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Paso 1.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) ((2 x^{3} + 3 x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3 x])$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) ((2 x^{3} + 3 x) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3 x])$

Paso 1.4.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) ((2 x^{3} + 3 x) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3 x])$

Paso 1.4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.4.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) ((2 x^{3} + 3 x) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3 x])$

Paso 1.4.4.2

Multiplica $2 x^{3} + 3 x$ por $1$ .

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3 x])$

Paso 1.4.5

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{3} + 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]))$

Paso 1.4.6

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]))$

Paso 1.4.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x]))$

Paso 1.4.8

Multiplica $3$ por $2$ .

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x]))$

Paso 1.4.9

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 1.4.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3 \cdot 1))$

Paso 1.4.11

Multiplica $3$ por $1$ .

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3))$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Factoriza $1$ de $(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3))$ .

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Paso 1.5.1.1

Factoriza $1$ de $(2 x^{3} + 3 x) (x - 1)$ .

$1 ((2 x^{3} + 3 x) (x - 1)) + (x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3))$

Paso 1.5.1.2

Factoriza $1$ de $(x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3))$ .

$1 ((2 x^{3} + 3 x) (x - 1)) + 1 ((x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)))$

Paso 1.5.1.3

Factoriza $1$ de $1 ((2 x^{3} + 3 x) (x - 1)) + 1 ((x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)))$ .

$1 ((2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)))$

Paso 1.5.2

Multiplica $(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3))$ por $1$ .

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3))$

Paso 1.5.3

Reordena los términos.

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)) (x + 3)$

Paso 1.5.4

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.1

Expande $(2 x^{3} + 3 x) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.5.4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{3} (x - 1) + 3 x (x - 1) + (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)) (x + 3)$

Paso 1.5.4.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{3} x + 2 x^{3} \cdot - 1 + 3 x (x - 1) + (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)) (x + 3)$

Paso 1.5.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{3} x + 2 x^{3} \cdot - 1 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)) (x + 3)$

Paso 1.5.4.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.2.1

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.4.2.1.1

Mueve $x$ .

$2 (x \cdot x^{3}) + 2 x^{3} \cdot - 1 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)) (x + 3)$

Paso 1.5.4.2.1.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 1.5.4.2.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 (x^{1} x^{3}) + 2 x^{3} \cdot - 1 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)) (x + 3)$

Paso 1.5.4.2.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{1 + 3} + 2 x^{3} \cdot - 1 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)) (x + 3)$

Paso 1.5.4.2.1.3

Suma $1$ y $3$ .

$2 x^{4} + 2 x^{3} \cdot - 1 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)) (x + 3)$

Paso 1.5.4.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)) (x + 3)$

Paso 1.5.4.2.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.4.2.3.1

Mueve $x$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 + (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)) (x + 3)$

Paso 1.5.4.2.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 + (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)) (x + 3)$

Paso 1.5.4.2.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)) (x + 3)$

Paso 1.5.4.3

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.3.1

Expande $(x - 1) (6 x^{2} + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.5.4.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + (2 x^{3} + 3 x + x (6 x^{2} + 3) - 1 (6 x^{2} + 3)) (x + 3)$

Paso 1.5.4.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + (2 x^{3} + 3 x + x (6 x^{2}) + x \cdot 3 - 1 (6 x^{2} + 3)) (x + 3)$

Paso 1.5.4.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + (2 x^{3} + 3 x + x (6 x^{2}) + x \cdot 3 - 1 (6 x^{2}) - 1 \cdot 3) (x + 3)$

Paso 1.5.4.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.3.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + (2 x^{3} + 3 x + 6 x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - 1 (6 x^{2}) - 1 \cdot 3) (x + 3)$

Paso 1.5.4.3.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.4.3.2.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + (2 x^{3} + 3 x + 6 (x^{2} x) + x \cdot 3 - 1 (6 x^{2}) - 1 \cdot 3) (x + 3)$

Paso 1.5.4.3.2.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 1.5.4.3.2.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + (2 x^{3} + 3 x + 6 (x^{2} x^{1}) + x \cdot 3 - 1 (6 x^{2}) - 1 \cdot 3) (x + 3)$

Paso 1.5.4.3.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + (2 x^{3} + 3 x + 6 x^{2 + 1} + x \cdot 3 - 1 (6 x^{2}) - 1 \cdot 3) (x + 3)$

Paso 1.5.4.3.2.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + (2 x^{3} + 3 x + 6 x^{3} + x \cdot 3 - 1 (6 x^{2}) - 1 \cdot 3) (x + 3)$

Paso 1.5.4.3.2.3

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + (2 x^{3} + 3 x + 6 x^{3} + 3 \cdot x - 1 (6 x^{2}) - 1 \cdot 3) (x + 3)$

Paso 1.5.4.3.2.4

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + (2 x^{3} + 3 x + 6 x^{3} + 3 x - 6 x^{2} - 1 \cdot 3) (x + 3)$

Paso 1.5.4.3.2.5

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + (2 x^{3} + 3 x + 6 x^{3} + 3 x - 6 x^{2} - 3) (x + 3)$

Paso 1.5.4.4

Suma $2 x^{3}$ y $6 x^{3}$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + (8 x^{3} + 3 x + 3 x - 6 x^{2} - 3) (x + 3)$

Paso 1.5.4.5

Suma $3 x$ y $3 x$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + (8 x^{3} + 6 x - 6 x^{2} - 3) (x + 3)$

Paso 1.5.4.6

Expande $(8 x^{3} + 6 x - 6 x^{2} - 3) (x + 3)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{3} x + 8 x^{3} \cdot 3 + 6 x \cdot x + 6 x \cdot 3 - 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3$

Paso 1.5.4.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.7.1

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.4.7.1.1

Mueve $x$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 (x \cdot x^{3}) + 8 x^{3} \cdot 3 + 6 x \cdot x + 6 x \cdot 3 - 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3$

Paso 1.5.4.7.1.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 1.5.4.7.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 (x^{1} x^{3}) + 8 x^{3} \cdot 3 + 6 x \cdot x + 6 x \cdot 3 - 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3$

Paso 1.5.4.7.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{1 + 3} + 8 x^{3} \cdot 3 + 6 x \cdot x + 6 x \cdot 3 - 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3$

Paso 1.5.4.7.1.3

Suma $1$ y $3$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{4} + 8 x^{3} \cdot 3 + 6 x \cdot x + 6 x \cdot 3 - 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3$

Paso 1.5.4.7.2

Multiplica $3$ por $8$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{4} + 24 x^{3} + 6 x \cdot x + 6 x \cdot 3 - 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3$

Paso 1.5.4.7.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.4.7.3.1

Mueve $x$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{4} + 24 x^{3} + 6 (x \cdot x) + 6 x \cdot 3 - 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3$

Paso 1.5.4.7.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{4} + 24 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x \cdot 3 - 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3$

Paso 1.5.4.7.4

Multiplica $3$ por $6$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{4} + 24 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3$

Paso 1.5.4.7.5

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.4.7.5.1

Mueve $x$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{4} + 24 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 6 (x \cdot x^{2}) - 6 x^{2} \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3$

Paso 1.5.4.7.5.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.5.4.7.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{4} + 24 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 6 (x^{1} x^{2}) - 6 x^{2} \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3$

Paso 1.5.4.7.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{4} + 24 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 6 x^{1 + 2} - 6 x^{2} \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3$

Paso 1.5.4.7.5.3

Suma $1$ y $2$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{4} + 24 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 6 x^{3} - 6 x^{2} \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3$

Paso 1.5.4.7.6

Multiplica $3$ por $- 6$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{4} + 24 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 6 x^{3} - 18 x^{2} - 3 x - 3 \cdot 3$

Paso 1.5.4.7.7

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{4} + 24 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 6 x^{3} - 18 x^{2} - 3 x - 9$

Paso 1.5.4.8

Resta $6 x^{3}$ de $24 x^{3}$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{4} + 18 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 18 x^{2} - 3 x - 9$

Paso 1.5.4.9

Resta $18 x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{4} + 18 x^{3} - 12 x^{2} + 18 x - 3 x - 9$

Paso 1.5.4.10

Resta $3 x$ de $18 x$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{4} + 18 x^{3} - 12 x^{2} + 15 x - 9$

Paso 1.5.5

Suma $2 x^{4}$ y $8 x^{4}$ .

$10 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 18 x^{3} - 12 x^{2} + 15 x - 9$

Paso 1.5.6

Suma $- 2 x^{3}$ y $18 x^{3}$ .

$10 x^{4} + 16 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 12 x^{2} + 15 x - 9$

Paso 1.5.7

Resta $12 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$10 x^{4} + 16 x^{3} - 9 x^{2} - 3 x + 15 x - 9$

Paso 1.5.8

Suma $- 3 x$ y $15 x$ .

$f' (x) = 10 x^{4} + 16 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 9$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $10 x^{4} + 16 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [10 x^{4}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 x^{4}$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$10 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Paso 2.2.3

Multiplica $4$ por $10$ .

$40 x^{3} + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16 x^{3}$ con respecto a $x$ es $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$40 x^{3} + 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$40 x^{3} + 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Paso 2.3.3

Multiplica $3$ por $16$ .

$40 x^{3} + 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$40 x^{3} + 48 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$40 x^{3} + 48 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Paso 2.4.3

Multiplica $2$ por $- 9$ .

$40 x^{3} + 48 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Paso 2.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Paso 2.5.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$40 x^{3} + 48 x^{2} - 18 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$40 x^{3} + 48 x^{2} - 18 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Paso 2.5.3

Multiplica $12$ por $1$ .

$40 x^{3} + 48 x^{2} - 18 x + 12 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.6.1

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$40 x^{3} + 48 x^{2} - 18 x + 12 + 0$

Paso 2.6.2

Suma $40 x^{3} + 48 x^{2} - 18 x + 12$ y $0$ .

$f'' (x) = 40 x^{3} + 48 x^{2} - 18 x + 12$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $40 x^{3} + 48 x^{2} - 18 x + 12$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [40 x^{3}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $40$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $40 x^{3}$ con respecto a $x$ es $40 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$40 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$40 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Paso 3.2.3

Multiplica $3$ por $40$ .

$120 x^{2} + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $48$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $48 x^{2}$ con respecto a $x$ es $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$120 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$120 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Paso 3.3.3

Multiplica $2$ por $48$ .

$120 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

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Paso 3.4.1

Como $- 18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 18 x$ con respecto a $x$ es $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$120 x^{2} + 96 x - 18 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$120 x^{2} + 96 x - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]$

Paso 3.4.3

Multiplica $- 18$ por $1$ .

$120 x^{2} + 96 x - 18 + \frac{d}{d x} [12]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.5.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12$ con respecto a $x$ es $0$ .

$120 x^{2} + 96 x - 18 + 0$

Paso 3.5.2

Suma $120 x^{2} + 96 x - 18$ y $0$ .

$f''' (x) = 120 x^{2} + 96 x - 18$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $120 x^{2} + 96 x - 18$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [120 x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$\frac{d}{d x} [120 x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [120 x^{2}]$ .

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Paso 4.2.1

Como $120$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $120 x^{2}$ con respecto a $x$ es $120 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$120 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$120 (2 x) + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Paso 4.2.3

Multiplica $2$ por $120$ .

$240 x + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Paso 4.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [96 x]$ .

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Paso 4.3.1

Como $96$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $96 x$ con respecto a $x$ es $96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$240 x + 96 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$240 x + 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 18]$

Paso 4.3.3

Multiplica $96$ por $1$ .

$240 x + 96 + \frac{d}{d x} [- 18]$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.4.1

Como $- 18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 18$ con respecto a $x$ es $0$ .

$240 x + 96 + 0$

Paso 4.4.2

Suma $240 x + 96$ y $0$ .

$f^{4} (x) = 240 x + 96$

Paso 5

La cuarta derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $240 x + 96$ .

$240 x + 96$