Cálculo Ejemplos

$f (x) = \tan (4 x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x$ .

$\sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1)$

Paso 1.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.3.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$\sec^{2} (4 x) \cdot 4$

Paso 1.2.3.2

Mueve $4$ a la izquierda de $\sec^{2} (4 x)$ .

$f' (x) = 4 \sec^{2} (4 x)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 \sec^{2} (4 x)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sec (4 x)$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sec (4 x)$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sec (4 x)$ .

$4 (2 \sec (4 x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])$

Paso 2.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 (\sec (4 x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $4 x$ .

$8 \sec (4 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 2.4.2

La derivada de $\sec (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$8 \sec (4 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $4 x$ .

$8 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 2.5

Eleva $\sec (4 x)$ a la potencia de $1$ .

$8 (\sec^{1} (4 x) \sec (4 x)) (\tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 2.6

Eleva $\sec (4 x)$ a la potencia de $1$ .

$8 (\sec^{1} (4 x) \sec^{1} (4 x)) (\tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$8 {\sec (4 x)}^{1 + 1} (\tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 2.8

Suma $1$ y $1$ .

$8 \sec^{2} (4 x) (\tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 2.9

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \sec^{2} (4 x) \tan (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.10

Multiplica $4$ por $8$ .

$32 \sec^{2} (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$32 \sec^{2} (4 x) \tan (4 x) \cdot 1$

Paso 2.12

Multiplica $32$ por $1$ .

$f'' (x) = 32 \sec^{2} (4 x) \tan (4 x)$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Como $32$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $32 \sec^{2} (4 x) \tan (4 x)$ con respecto a $x$ es $32 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x) \tan (4 x)]$ .

$32 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x) \tan (4 x)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sec^{2} (4 x)$ y $g (x) = \tan (4 x)$ .

$32 (\sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\tan (4 x)] + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $4 x$ .

$32 (\sec^{2} (4 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

Paso 3.3.2

La derivada de $\tan (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\sec^{2} (u_{1})$ .

$32 (\sec^{2} (4 x) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x]) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $4 x$ .

$32 (\sec^{2} (4 x) (\sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

Paso 3.4

Multiplica $\sec^{2} (4 x)$ por $\sec^{2} (4 x)$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.1

Mueve $\sec^{2} (4 x)$ .

$32 (\sec^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

Paso 3.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$32 ({\sec (4 x)}^{2 + 2} \frac{d}{d x} [4 x] + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

Paso 3.4.3

Suma $2$ y $2$ .

$32 (\sec^{4} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

Paso 3.5

Diferencia.

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Paso 3.5.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$32 (\sec^{4} (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

Paso 3.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$32 (\sec^{4} (4 x) (4 \cdot 1) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

Paso 3.5.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.3.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$32 (\sec^{4} (4 x) \cdot 4 + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

Paso 3.5.3.2

Mueve $4$ a la izquierda de $\sec^{4} (4 x)$ .

$32 (4 \cdot \sec^{4} (4 x) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sec (4 x)$ .

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Paso 3.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\sec (4 x)$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + \tan (4 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]))$

Paso 3.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + \tan (4 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]))$

Paso 3.6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sec (4 x)$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + \tan (4 x) (2 \sec (4 x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]))$

Paso 3.7

Mueve $2$ a la izquierda de $\tan (4 x)$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \cdot \tan (4 x) \sec (4 x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 3.8.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $4 x$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan (4 x) \sec (4 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [4 x]))$

Paso 3.8.2

La derivada de $\sec (u_{3})$ con respecto a $u_{3}$ es $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan (4 x) \sec (4 x) (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [4 x]))$

Paso 3.8.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $4 x$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan (4 x) \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]))$

Paso 3.9

Eleva $\tan (4 x)$ a la potencia de $1$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 (\tan^{1} (4 x) \tan (4 x)) \sec (4 x) (\sec (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]))$

Paso 3.10

Eleva $\tan (4 x)$ a la potencia de $1$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 (\tan^{1} (4 x) \tan^{1} (4 x)) \sec (4 x) (\sec (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]))$

Paso 3.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 {\tan (4 x)}^{1 + 1} \sec (4 x) (\sec (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]))$

Paso 3.12

Suma $1$ y $1$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan^{2} (4 x) \sec (4 x) (\sec (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]))$

Paso 3.13

Eleva $\sec (4 x)$ a la potencia de $1$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan^{2} (4 x) (\sec^{1} (4 x) \sec (4 x)) \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 3.14

Eleva $\sec (4 x)$ a la potencia de $1$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan^{2} (4 x) (\sec^{1} (4 x) \sec^{1} (4 x)) \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 3.15

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan^{2} (4 x) {\sec (4 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 3.16

Suma $1$ y $1$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 3.17

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 3.18

Multiplica $4$ por $2$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 8 \tan^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.19

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 8 \tan^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x) \cdot 1)$

Paso 3.20

Multiplica $8$ por $1$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 8 \tan^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x))$

Paso 3.21

Simplifica.

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Paso 3.21.1

Aplica la propiedad distributiva.

$32 (4 \sec^{4} (4 x)) + 32 (8 \tan^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x))$

Paso 3.21.2

Combina los términos.

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Paso 3.21.2.1

Multiplica $4$ por $32$ .

$128 \sec^{4} (4 x) + 32 (8 \tan^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x))$

Paso 3.21.2.2

Multiplica $8$ por $32$ .

$128 \sec^{4} (4 x) + 256 \tan^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x)$

Paso 3.21.3

Reordena los términos.

$f''' (x) = 256 \sec^{2} (4 x) \tan^{2} (4 x) + 128 \sec^{4} (4 x)$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $256 \sec^{2} (4 x) \tan^{2} (4 x) + 128 \sec^{4} (4 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [256 \sec^{2} (4 x) \tan^{2} (4 x)] + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [256 \sec^{2} (4 x) \tan^{2} (4 x)] + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [256 \sec^{2} (4 x) \tan^{2} (4 x)]$ .

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Paso 4.2.1

Como $256$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $256 \sec^{2} (4 x) \tan^{2} (4 x)$ con respecto a $x$ es $256 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x) \tan^{2} (4 x)]$ .

$256 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x) \tan^{2} (4 x)] + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Paso 4.2.2

$256 (\sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (4 x)] + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Paso 4.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \tan (4 x)$ .

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Paso 4.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\tan (4 x)$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (4 x)]) + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Paso 4.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (4 x)]) + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Paso 4.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\tan (4 x)$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\tan (4 x)]) + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Paso 4.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 4.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $4 x$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])) + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Paso 4.2.4.2

La derivada de $\tan (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sec^{2} (u_{2})$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])) + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Paso 4.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $4 x$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])) + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Paso 4.2.5

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]))) + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Paso 4.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Paso 4.2.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sec (4 x)$ .

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Paso 4.2.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $\sec (4 x)$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Paso 4.2.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ es $n {u_{3}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Paso 4.2.7.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $\sec (4 x)$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Paso 4.2.8

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = 4 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.8.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{4}$ como $4 x$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\frac{d}{d u_{4}} [\sec (u_{4})] \frac{d}{d x} [4 x]))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Paso 4.2.8.2

La derivada de $\sec (u_{4})$ con respecto a $u_{4}$ es $\sec (u_{4}) \tan (u_{4})$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (u_{4}) \tan (u_{4}) \frac{d}{d x} [4 x]))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Paso 4.2.8.3

Reemplaza todos los casos de $u_{4}$ con $4 x$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Paso 4.2.9

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Paso 4.2.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Paso 4.2.11

Multiplica $4$ por $1$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) \cdot 4)) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Paso 4.2.12

Mueve $4$ a la izquierda de $\sec^{2} (4 x)$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (4 \cdot \sec^{2} (4 x))) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Paso 4.2.13

Multiplica $4$ por $2$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (8 \tan (4 x) \sec^{2} (4 x)) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Paso 4.2.14

Multiplica $\sec^{2} (4 x)$ por $\sec^{2} (4 x)$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.14.1

Mueve $\sec^{2} (4 x)$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x) (8 \tan (4 x)) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Paso 4.2.14.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$256 ({\sec (4 x)}^{2 + 2} (8 \tan (4 x)) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Paso 4.2.14.3

Suma $2$ y $2$ .

$256 (\sec^{4} (4 x) (8 \tan (4 x)) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Paso 4.2.15

Mueve $8$ a la izquierda de $\sec^{4} (4 x)$ .

$256 (8 \cdot \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Paso 4.2.16

Multiplica $4$ por $1$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) \cdot 4))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Paso 4.2.17

Mueve $4$ a la izquierda de $\sec (4 x) \tan (4 x)$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (4 \cdot (\sec (4 x) \tan (4 x))))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Paso 4.2.18

Multiplica $4$ por $2$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{2} (4 x) (8 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Paso 4.2.19

Eleva $\sec (4 x)$ a la potencia de $1$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{2} (4 x) (8 (\sec^{1} (4 x) \sec (4 x)) \tan (4 x))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Paso 4.2.20

Eleva $\sec (4 x)$ a la potencia de $1$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{2} (4 x) (8 (\sec^{1} (4 x) \sec^{1} (4 x)) \tan (4 x))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Paso 4.2.21

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{2} (4 x) (8 {\sec (4 x)}^{1 + 1} \tan (4 x))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Paso 4.2.22

Suma $1$ y $1$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{2} (4 x) (8 \sec^{2} (4 x) \tan (4 x))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Paso 4.2.23

Multiplica $\tan^{2} (4 x)$ por $\tan (4 x)$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.23.1

Mueve $\tan (4 x)$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan (4 x) \tan^{2} (4 x) (8 \sec^{2} (4 x))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Paso 4.2.23.2

Multiplica $\tan (4 x)$ por $\tan^{2} (4 x)$ .

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Paso 4.2.23.2.1

Eleva $\tan (4 x)$ a la potencia de $1$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{1} (4 x) \tan^{2} (4 x) (8 \sec^{2} (4 x))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Paso 4.2.23.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + {\tan (4 x)}^{1 + 2} (8 \sec^{2} (4 x))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Paso 4.2.23.3

Suma $1$ y $2$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{3} (4 x) (8 \sec^{2} (4 x))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Paso 4.2.24

Mueve $8$ a la izquierda de $\tan^{3} (4 x)$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Paso 4.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$ .

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Paso 4.3.1

Como $128$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $128 \sec^{4} (4 x)$ con respecto a $x$ es $128 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (4 x)]$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (4 x)]$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = \sec (4 x)$ .

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Paso 4.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{5}$ como $\sec (4 x)$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])$

Paso 4.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{n}]$ es $n {u_{5}}^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 {u_{5}}^{3} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])$

Paso 4.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{5}$ con $\sec (4 x)$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 \sec^{3} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])$

Paso 4.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 4.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{6}$ como $4 x$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 \sec^{3} (4 x) (\frac{d}{d u_{6}} [\sec (u_{6})] \frac{d}{d x} [4 x]))$

Paso 4.3.3.2

La derivada de $\sec (u_{6})$ con respecto a $u_{6}$ es $\sec (u_{6}) \tan (u_{6})$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 \sec^{3} (4 x) (\sec (u_{6}) \tan (u_{6}) \frac{d}{d x} [4 x]))$

Paso 4.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{6}$ con $4 x$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 \sec^{3} (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]))$

Paso 4.3.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 \sec^{3} (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])))$

Paso 4.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 \sec^{3} (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))$

Paso 4.3.6

Multiplica $4$ por $1$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 \sec^{3} (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) \cdot 4))$

Paso 4.3.7

Mueve $4$ a la izquierda de $\sec (4 x) \tan (4 x)$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 \sec^{3} (4 x) (4 \cdot (\sec (4 x) \tan (4 x))))$

Paso 4.3.8

Multiplica $4$ por $4$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (16 \sec^{3} (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x)))$

Paso 4.3.9

Eleva $\sec (4 x)$ a la potencia de $1$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (16 (\sec^{1} (4 x) \sec^{3} (4 x)) \tan (4 x))$

Paso 4.3.10

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (16 {\sec (4 x)}^{1 + 3} \tan (4 x))$

Paso 4.3.11

Suma $1$ y $3$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (16 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x))$

Paso 4.3.12

Multiplica $16$ por $128$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 2048 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x)$

Paso 4.4

Simplifica.

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Paso 4.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x)) + 256 (8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 2048 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x)$

Paso 4.4.2

Combina los términos.

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Paso 4.4.2.1

Multiplica $8$ por $256$ .

$2048 (\sec^{4} (4 x) \tan (4 x)) + 256 (8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 2048 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x)$

Paso 4.4.2.2

Multiplica $8$ por $256$ .

$2048 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 2048 (\tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 2048 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x)$

Paso 4.4.2.3

Suma $2048 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x)$ y $2048 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x)$ .

$f^{4} (x) = 4096 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 2048 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)$

Paso 5

La cuarta derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4096 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 2048 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)$ .

$4096 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 2048 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)$