Cálculo Ejemplos

$f (t) = \frac{t^{3} - 2 t^{2}}{(1 - t)}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = t^{3} - 2 t^{2}$ y $g (t) = 1 - t$ .

$\frac{(1 - t) \frac{d}{d t} [t^{3} - 2 t^{2}] - (t^{3} - 2 t^{2}) \frac{d}{d t} [1 - t]}{{(1 - t)}^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{3} - 2 t^{2}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 2 t^{2}]$ .

$\frac{(1 - t) (\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 2 t^{2}]) - (t^{3} - 2 t^{2}) \frac{d}{d t} [1 - t]}{{(1 - t)}^{2}}$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{(1 - t) (3 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 2 t^{2}]) - (t^{3} - 2 t^{2}) \frac{d}{d t} [1 - t]}{{(1 - t)}^{2}}$

Paso 1.2.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 2 t^{2}$ con respecto a $t$ es $- 2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{(1 - t) (3 t^{2} - 2 \frac{d}{d t} [t^{2}]) - (t^{3} - 2 t^{2}) \frac{d}{d t} [1 - t]}{{(1 - t)}^{2}}$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(1 - t) (3 t^{2} - 2 (2 t)) - (t^{3} - 2 t^{2}) \frac{d}{d t} [1 - t]}{{(1 - t)}^{2}}$

Paso 1.2.5

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{(1 - t) (3 t^{2} - 4 t) - (t^{3} - 2 t^{2}) \frac{d}{d t} [1 - t]}{{(1 - t)}^{2}}$

Paso 1.2.6

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{(1 - t) (3 t^{2} - 4 t) - (t^{3} - 2 t^{2}) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t])}{{(1 - t)}^{2}}$

Paso 1.2.7

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{(1 - t) (3 t^{2} - 4 t) - (t^{3} - 2 t^{2}) (0 + \frac{d}{d t} [- t])}{{(1 - t)}^{2}}$

Paso 1.2.8

Suma $0$ y $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{(1 - t) (3 t^{2} - 4 t) - (t^{3} - 2 t^{2}) \frac{d}{d t} [- t]}{{(1 - t)}^{2}}$

Paso 1.2.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- t$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(1 - t) (3 t^{2} - 4 t) - (t^{3} - 2 t^{2}) (- \frac{d}{d t} [t])}{{(1 - t)}^{2}}$

Paso 1.2.10

Multiplica.

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Paso 1.2.10.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{(1 - t) (3 t^{2} - 4 t) + 1 (t^{3} - 2 t^{2}) \frac{d}{d t} [t]}{{(1 - t)}^{2}}$

Paso 1.2.10.2

Multiplica $t^{3} - 2 t^{2}$ por $1$ .

$\frac{(1 - t) (3 t^{2} - 4 t) + (t^{3} - 2 t^{2}) \frac{d}{d t} [t]}{{(1 - t)}^{2}}$

Paso 1.2.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(1 - t) (3 t^{2} - 4 t) + (t^{3} - 2 t^{2}) \cdot 1}{{(1 - t)}^{2}}$

Paso 1.2.12

Multiplica $t^{3} - 2 t^{2}$ por $1$ .

$\frac{(1 - t) (3 t^{2} - 4 t) + t^{3} - 2 t^{2}}{{(1 - t)}^{2}}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1.1

Expande $(1 - t) (3 t^{2} - 4 t)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.3.1.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 (3 t^{2} - 4 t) - t (3 t^{2} - 4 t) + t^{3} - 2 t^{2}}{{(1 - t)}^{2}}$

Paso 1.3.1.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 (3 t^{2}) + 1 (- 4 t) - t (3 t^{2} - 4 t) + t^{3} - 2 t^{2}}{{(1 - t)}^{2}}$

Paso 1.3.1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 (3 t^{2}) + 1 (- 4 t) - t (3 t^{2}) - t (- 4 t) + t^{3} - 2 t^{2}}{{(1 - t)}^{2}}$

Paso 1.3.1.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1.2.1.1

Multiplica $3 t^{2}$ por $1$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 (- 4 t) - t (3 t^{2}) - t (- 4 t) + t^{3} - 2 t^{2}}{{(1 - t)}^{2}}$

Paso 1.3.1.1.2.1.2

Multiplica $- 4 t$ por $1$ .

$\frac{3 t^{2} - 4 t - t (3 t^{2}) - t (- 4 t) + t^{3} - 2 t^{2}}{{(1 - t)}^{2}}$

Paso 1.3.1.1.2.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{3 t^{2} - 4 t - 1 \cdot 3 t \cdot t^{2} - t (- 4 t) + t^{3} - 2 t^{2}}{{(1 - t)}^{2}}$

Paso 1.3.1.1.2.1.4

Multiplica $t$ por $t^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1.1.2.1.4.1

Mueve $t^{2}$ .

$\frac{3 t^{2} - 4 t - 1 \cdot 3 (t^{2} t) - t (- 4 t) + t^{3} - 2 t^{2}}{{(1 - t)}^{2}}$

Paso 1.3.1.1.2.1.4.2

Multiplica $t^{2}$ por $t$ .

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Paso 1.3.1.1.2.1.4.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 t^{2} - 4 t - 1 \cdot 3 (t^{2} t^{1}) - t (- 4 t) + t^{3} - 2 t^{2}}{{(1 - t)}^{2}}$

Paso 1.3.1.1.2.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 t^{2} - 4 t - 1 \cdot 3 t^{2 + 1} - t (- 4 t) + t^{3} - 2 t^{2}}{{(1 - t)}^{2}}$

Paso 1.3.1.1.2.1.4.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{3 t^{2} - 4 t - 1 \cdot 3 t^{3} - t (- 4 t) + t^{3} - 2 t^{2}}{{(1 - t)}^{2}}$

Paso 1.3.1.1.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{3 t^{2} - 4 t - 3 t^{3} - t (- 4 t) + t^{3} - 2 t^{2}}{{(1 - t)}^{2}}$

Paso 1.3.1.1.2.1.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{3 t^{2} - 4 t - 3 t^{3} - 1 \cdot - 4 t \cdot t + t^{3} - 2 t^{2}}{{(1 - t)}^{2}}$

Paso 1.3.1.1.2.1.7

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1.1.2.1.7.1

Mueve $t$ .

$\frac{3 t^{2} - 4 t - 3 t^{3} - 1 \cdot - 4 (t \cdot t) + t^{3} - 2 t^{2}}{{(1 - t)}^{2}}$

Paso 1.3.1.1.2.1.7.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$\frac{3 t^{2} - 4 t - 3 t^{3} - 1 \cdot - 4 t^{2} + t^{3} - 2 t^{2}}{{(1 - t)}^{2}}$

Paso 1.3.1.1.2.1.8

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{3 t^{2} - 4 t - 3 t^{3} + 4 t^{2} + t^{3} - 2 t^{2}}{{(1 - t)}^{2}}$

Paso 1.3.1.1.2.2

Suma $3 t^{2}$ y $4 t^{2}$ .

$\frac{7 t^{2} - 4 t - 3 t^{3} + t^{3} - 2 t^{2}}{{(1 - t)}^{2}}$

Paso 1.3.1.2

Resta $2 t^{2}$ de $7 t^{2}$ .

$\frac{- 4 t - 3 t^{3} + t^{3} + 5 t^{2}}{{(1 - t)}^{2}}$

Paso 1.3.1.3

Suma $- 3 t^{3}$ y $t^{3}$ .

$\frac{- 4 t - 2 t^{3} + 5 t^{2}}{{(1 - t)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Reordena los términos.

$\frac{- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t}{{(- t + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3

Factoriza $t$ de $- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t$ .

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Paso 1.3.3.1

Factoriza $t$ de $- 2 t^{3}$ .

$\frac{t (- 2 t^{2}) + 5 t^{2} - 4 t}{{(- t + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3.2

Factoriza $t$ de $5 t^{2}$ .

$\frac{t (- 2 t^{2}) + t (5 t) - 4 t}{{(- t + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3.3

Factoriza $t$ de $- 4 t$ .

$\frac{t (- 2 t^{2}) + t (5 t) + t \cdot - 4}{{(- t + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3.4

Factoriza $t$ de $t (- 2 t^{2}) + t (5 t)$ .

$\frac{t (- 2 t^{2} + 5 t) + t \cdot - 4}{{(- t + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3.5

Factoriza $t$ de $t (- 2 t^{2} + 5 t) + t \cdot - 4$ .

$\frac{t (- 2 t^{2} + 5 t - 4)}{{(- t + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.4

Factoriza $- 1$ de $- 2 t^{2}$ .

$\frac{t (- (2 t^{2}) + 5 t - 4)}{{(- t + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.5

Factoriza $- 1$ de $5 t$ .

$\frac{t (- (2 t^{2}) - (- 5 t) - 4)}{{(- t + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.6

Factoriza $- 1$ de $- (2 t^{2}) - (- 5 t)$ .

$\frac{t (- (2 t^{2} - 5 t) - 4)}{{(- t + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.7

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$\frac{t (- (2 t^{2} - 5 t) - 1 (4))}{{(- t + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.8

Factoriza $- 1$ de $- (2 t^{2} - 5 t) - 1 (4)$ .

$\frac{t (- (2 t^{2} - 5 t + 4))}{{(- t + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.9

Reescribe $- (2 t^{2} - 5 t + 4)$ como $- 1 (2 t^{2} - 5 t + 4)$ .

$\frac{t (- 1 (2 t^{2} - 5 t + 4))}{{(- t + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (t) = - \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = - 1$ y $g (t) = \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d t} [\frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}}] + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.2

$- \frac{{(- t + 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t (2 t^{2} - 5 t + 4)] - t (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{2}]}{{({(- t + 1)}^{2})}^{2}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.3

Multiplica los exponentes en ${({(- t + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{{(- t + 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t (2 t^{2} - 5 t + 4)] - t (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{2}]}{{(- t + 1)}^{2 \cdot 2}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{{(- t + 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t (2 t^{2} - 5 t + 4)] - t (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{2}]}{{(- t + 1)}^{4}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = t$ y $g (t) = 2 t^{2} - 5 t + 4$ .

$- \frac{{(- t + 1)}^{2} (t \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 5 t + 4] + (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [t]) - t (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{2}]}{{(- t + 1)}^{4}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.5

Diferencia.

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Paso 2.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 t^{2} - 5 t + 4$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5 t] + \frac{d}{d t} [4]$ .

$- \frac{{(- t + 1)}^{2} (t (\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5 t] + \frac{d}{d t} [4]) + (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [t]) - t (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{2}]}{{(- t + 1)}^{4}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.5.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t^{2}$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$- \frac{{(- t + 1)}^{2} (t (2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5 t] + \frac{d}{d t} [4]) + (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [t]) - t (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{2}]}{{(- t + 1)}^{4}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{{(- t + 1)}^{2} (t (2 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 5 t] + \frac{d}{d t} [4]) + (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [t]) - t (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{2}]}{{(- t + 1)}^{4}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.5.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{{(- t + 1)}^{2} (t (4 t + \frac{d}{d t} [- 5 t] + \frac{d}{d t} [4]) + (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [t]) - t (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{2}]}{{(- t + 1)}^{4}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.5.5

Como $- 5$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 5 t$ con respecto a $t$ es $- 5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{{(- t + 1)}^{2} (t (4 t - 5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4]) + (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [t]) - t (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{2}]}{{(- t + 1)}^{4}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.5.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{{(- t + 1)}^{2} (t (4 t - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [4]) + (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [t]) - t (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{2}]}{{(- t + 1)}^{4}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.5.7

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$- \frac{{(- t + 1)}^{2} (t (4 t - 5 + \frac{d}{d t} [4]) + (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [t]) - t (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{2}]}{{(- t + 1)}^{4}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.5.8

Como $4$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $4$ con respecto a $t$ es $0$ .

$- \frac{{(- t + 1)}^{2} (t (4 t - 5 + 0) + (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [t]) - t (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{2}]}{{(- t + 1)}^{4}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.5.9

Suma $4 t - 5$ y $0$ .

$- \frac{{(- t + 1)}^{2} (t (4 t - 5) + (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [t]) - t (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{2}]}{{(- t + 1)}^{4}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.5.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{{(- t + 1)}^{2} (t (4 t - 5) + (2 t^{2} - 5 t + 4) \cdot 1) - t (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{2}]}{{(- t + 1)}^{4}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.5.11

Multiplica $2 t^{2} - 5 t + 4$ por $1$ .

$- \frac{{(- t + 1)}^{2} (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4) - t (2 t^{2} - 5 t + 4) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{2}]}{{(- t + 1)}^{4}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{2}$ y $g (t) = - t + 1$ .

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Paso 2.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- t + 1$ .

$- \frac{{(- t + 1)}^{2} (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4) - t (2 t^{2} - 5 t + 4) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [- t + 1])}{{(- t + 1)}^{4}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{{(- t + 1)}^{2} (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4) - t (2 t^{2} - 5 t + 4) (2 u \frac{d}{d t} [- t + 1])}{{(- t + 1)}^{4}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- t + 1$ .

$- \frac{{(- t + 1)}^{2} (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4) - t (2 t^{2} - 5 t + 4) (2 (- t + 1) \frac{d}{d t} [- t + 1])}{{(- t + 1)}^{4}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.7

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.7.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{{(- t + 1)}^{2} (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4) - 2 t (2 t^{2} - 5 t + 4) ((- t + 1) \frac{d}{d t} [- t + 1])}{{(- t + 1)}^{4}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.7.2

Factoriza $- t + 1$ de ${(- t + 1)}^{2} (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4) - 2 t (2 t^{2} - 5 t + 4) ((- t + 1) \frac{d}{d t} [- t + 1])$ .

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Paso 2.7.2.1

Factoriza $- t + 1$ de ${(- t + 1)}^{2} (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4)$ .

$- \frac{(- t + 1) ((- t + 1) (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4)) - 2 t (2 t^{2} - 5 t + 4) ((- t + 1) \frac{d}{d t} [- t + 1])}{{(- t + 1)}^{4}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.7.2.2

Factoriza $- t + 1$ de $- 2 t (2 t^{2} - 5 t + 4) ((- t + 1) \frac{d}{d t} [- t + 1])$ .

$- \frac{(- t + 1) ((- t + 1) (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4)) + (- t + 1) (- 2 t (2 t^{2} - 5 t + 4) (\frac{d}{d t} [- t + 1]))}{{(- t + 1)}^{4}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.7.2.3

Factoriza $- t + 1$ de $(- t + 1) ((- t + 1) (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4)) + (- t + 1) (- 2 t (2 t^{2} - 5 t + 4) (\frac{d}{d t} [- t + 1]))$ .

$- \frac{(- t + 1) ((- t + 1) (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4) - 2 t (2 t^{2} - 5 t + 4) (\frac{d}{d t} [- t + 1]))}{{(- t + 1)}^{4}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.8

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.1

Factoriza $- t + 1$ de ${(- t + 1)}^{4}$ .

$- \frac{(- t + 1) ((- t + 1) (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4) - 2 t (2 t^{2} - 5 t + 4) (\frac{d}{d t} [- t + 1]))}{(- t + 1) {(- t + 1)}^{3}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.8.2

Cancela el factor común.

Paso 2.8.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{(- t + 1) (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4) - 2 t (2 t^{2} - 5 t + 4) (\frac{d}{d t} [- t + 1])}{{(- t + 1)}^{3}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.9

Según la regla de la suma, la derivada de $- t + 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$- \frac{(- t + 1) (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4) - 2 t (2 t^{2} - 5 t + 4) (\frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1])}{{(- t + 1)}^{3}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.10

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- t$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{(- t + 1) (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4) - 2 t (2 t^{2} - 5 t + 4) (- \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])}{{(- t + 1)}^{3}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{(- t + 1) (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4) - 2 t (2 t^{2} - 5 t + 4) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1])}{{(- t + 1)}^{3}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.12

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{(- t + 1) (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4) - 2 t (2 t^{2} - 5 t + 4) (- 1 + \frac{d}{d t} [1])}{{(- t + 1)}^{3}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.13

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$- \frac{(- t + 1) (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4) - 2 t (2 t^{2} - 5 t + 4) (- 1 + 0)}{{(- t + 1)}^{3}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.14

Simplifica la expresión.

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Paso 2.14.1

Suma $- 1$ y $0$ .

$- \frac{(- t + 1) (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4) - 2 t (2 t^{2} - 5 t + 4) \cdot - 1}{{(- t + 1)}^{3}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.14.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$- \frac{(- t + 1) (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4) + 2 t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{3}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.15

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$- \frac{(- t + 1) (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4) + 2 t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{3}} + \frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}} \cdot 0$

Paso 2.16

Simplifica la expresión.

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Paso 2.16.1

Multiplica $\frac{t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{2}}$ por $0$ .

$- \frac{(- t + 1) (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4) + 2 t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{3}} + 0$

Paso 2.16.2

Suma $- \frac{(- t + 1) (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4) + 2 t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{3}}$ y $0$ .

$- \frac{(- t + 1) (t (4 t - 5) + 2 t^{2} - 5 t + 4) + 2 t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17

Simplifica.

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Paso 2.17.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{(- t + 1) (t (4 t) + t \cdot - 5 + 2 t^{2} - 5 t + 4) + 2 t (2 t^{2} - 5 t + 4)}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{(- t + 1) (t (4 t) + t \cdot - 5 + 2 t^{2} - 5 t + 4) + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.17.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.17.3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.17.3.1.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{(- t + 1) (4 t \cdot t + t \cdot - 5 + 2 t^{2} - 5 t + 4) + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.3.1.1.2

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.17.3.1.1.2.1

Mueve $t$ .

$- \frac{(- t + 1) (4 (t \cdot t) + t \cdot - 5 + 2 t^{2} - 5 t + 4) + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.3.1.1.2.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$- \frac{(- t + 1) (4 t^{2} + t \cdot - 5 + 2 t^{2} - 5 t + 4) + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.3.1.1.3

Mueve $- 5$ a la izquierda de $t$ .

$- \frac{(- t + 1) (4 t^{2} - 5 t + 2 t^{2} - 5 t + 4) + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.3.1.2

Suma $4 t^{2}$ y $2 t^{2}$ .

$- \frac{(- t + 1) (6 t^{2} - 5 t - 5 t + 4) + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.3.1.3

Resta $5 t$ de $- 5 t$ .

$- \frac{(- t + 1) (6 t^{2} - 10 t + 4) + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.3.1.4

Expande $(- t + 1) (6 t^{2} - 10 t + 4)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$- \frac{- t (6 t^{2}) - t (- 10 t) - t \cdot 4 + 1 (6 t^{2}) + 1 (- 10 t) + 1 \cdot 4 + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.3.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 2.17.3.1.5.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{- 1 \cdot 6 t \cdot t^{2} - t (- 10 t) - t \cdot 4 + 1 (6 t^{2}) + 1 (- 10 t) + 1 \cdot 4 + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.3.1.5.2

Multiplica $t$ por $t^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.17.3.1.5.2.1

Mueve $t^{2}$ .

$- \frac{- 1 \cdot 6 (t^{2} t) - t (- 10 t) - t \cdot 4 + 1 (6 t^{2}) + 1 (- 10 t) + 1 \cdot 4 + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.3.1.5.2.2

Multiplica $t^{2}$ por $t$ .

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Paso 2.17.3.1.5.2.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{- 1 \cdot 6 (t^{2} t^{1}) - t (- 10 t) - t \cdot 4 + 1 (6 t^{2}) + 1 (- 10 t) + 1 \cdot 4 + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.3.1.5.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{- 1 \cdot 6 t^{2 + 1} - t (- 10 t) - t \cdot 4 + 1 (6 t^{2}) + 1 (- 10 t) + 1 \cdot 4 + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.3.1.5.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$- \frac{- 1 \cdot 6 t^{3} - t (- 10 t) - t \cdot 4 + 1 (6 t^{2}) + 1 (- 10 t) + 1 \cdot 4 + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.3.1.5.3

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$- \frac{- 6 t^{3} - t (- 10 t) - t \cdot 4 + 1 (6 t^{2}) + 1 (- 10 t) + 1 \cdot 4 + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.3.1.5.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{- 6 t^{3} - 1 \cdot - 10 t \cdot t - t \cdot 4 + 1 (6 t^{2}) + 1 (- 10 t) + 1 \cdot 4 + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.3.1.5.5

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 2.17.3.1.5.5.1

Mueve $t$ .

$- \frac{- 6 t^{3} - 1 \cdot - 10 (t \cdot t) - t \cdot 4 + 1 (6 t^{2}) + 1 (- 10 t) + 1 \cdot 4 + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.3.1.5.5.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$- \frac{- 6 t^{3} - 1 \cdot - 10 t^{2} - t \cdot 4 + 1 (6 t^{2}) + 1 (- 10 t) + 1 \cdot 4 + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.3.1.5.6

Multiplica $- 1$ por $- 10$ .

$- \frac{- 6 t^{3} + 10 t^{2} - t \cdot 4 + 1 (6 t^{2}) + 1 (- 10 t) + 1 \cdot 4 + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.3.1.5.7

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- \frac{- 6 t^{3} + 10 t^{2} - 4 t + 1 (6 t^{2}) + 1 (- 10 t) + 1 \cdot 4 + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.3.1.5.8

Multiplica $6 t^{2}$ por $1$ .

$- \frac{- 6 t^{3} + 10 t^{2} - 4 t + 6 t^{2} + 1 (- 10 t) + 1 \cdot 4 + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.3.1.5.9

Multiplica $- 10 t$ por $1$ .

$- \frac{- 6 t^{3} + 10 t^{2} - 4 t + 6 t^{2} - 10 t + 1 \cdot 4 + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.3.1.5.10

Multiplica $4$ por $1$ .

$- \frac{- 6 t^{3} + 10 t^{2} - 4 t + 6 t^{2} - 10 t + 4 + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.3.1.6

Suma $10 t^{2}$ y $6 t^{2}$ .

$- \frac{- 6 t^{3} + 16 t^{2} - 4 t - 10 t + 4 + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.3.1.7

Resta $10 t$ de $- 4 t$ .

$- \frac{- 6 t^{3} + 16 t^{2} - 14 t + 4 + 2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.3.1.8

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{- 6 t^{3} + 16 t^{2} - 14 t + 4 + 2 \cdot 2 t \cdot t^{2} + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.3.1.9

Multiplica $t$ por $t^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.17.3.1.9.1

Mueve $t^{2}$ .

$- \frac{- 6 t^{3} + 16 t^{2} - 14 t + 4 + 2 \cdot 2 (t^{2} t) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.3.1.9.2

Multiplica $t^{2}$ por $t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.17.3.1.9.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{- 6 t^{3} + 16 t^{2} - 14 t + 4 + 2 \cdot 2 (t^{2} t^{1}) + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.3.1.9.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{- 6 t^{3} + 16 t^{2} - 14 t + 4 + 2 \cdot 2 t^{2 + 1} + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.3.1.9.3

Suma $2$ y $1$ .

$- \frac{- 6 t^{3} + 16 t^{2} - 14 t + 4 + 2 \cdot 2 t^{3} + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.3.1.10

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{- 6 t^{3} + 16 t^{2} - 14 t + 4 + 4 t^{3} + 2 t (- 5 t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.3.1.11

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{- 6 t^{3} + 16 t^{2} - 14 t + 4 + 4 t^{3} + 2 \cdot - 5 t \cdot t + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.3.1.12

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.17.3.1.12.1

Mueve $t$ .

$- \frac{- 6 t^{3} + 16 t^{2} - 14 t + 4 + 4 t^{3} + 2 \cdot - 5 (t \cdot t) + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.3.1.12.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$- \frac{- 6 t^{3} + 16 t^{2} - 14 t + 4 + 4 t^{3} + 2 \cdot - 5 t^{2} + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.3.1.13

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$- \frac{- 6 t^{3} + 16 t^{2} - 14 t + 4 + 4 t^{3} - 10 t^{2} + 2 t \cdot 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.3.1.14

Multiplica $4$ por $2$ .

$- \frac{- 6 t^{3} + 16 t^{2} - 14 t + 4 + 4 t^{3} - 10 t^{2} + 8 t}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.3.2

Suma $- 6 t^{3}$ y $4 t^{3}$ .

$- \frac{- 2 t^{3} + 16 t^{2} - 14 t + 4 - 10 t^{2} + 8 t}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.3.3

Resta $10 t^{2}$ de $16 t^{2}$ .

$- \frac{- 2 t^{3} + 6 t^{2} - 14 t + 4 + 8 t}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.3.4

Suma $- 14 t$ y $8 t$ .

$- \frac{- 2 t^{3} + 6 t^{2} - 6 t + 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.4

Factoriza $2$ de $- 2 t^{3} + 6 t^{2} - 6 t + 4$ .

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Paso 2.17.4.1

Factoriza $2$ de $- 2 t^{3}$ .

$- \frac{2 (- t^{3}) + 6 t^{2} - 6 t + 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.4.2

Factoriza $2$ de $6 t^{2}$ .

$- \frac{2 (- t^{3}) + 2 (3 t^{2}) - 6 t + 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.4.3

Factoriza $2$ de $- 6 t$ .

$- \frac{2 (- t^{3}) + 2 (3 t^{2}) + 2 (- 3 t) + 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.4.4

Factoriza $2$ de $4$ .

$- \frac{2 (- t^{3}) + 2 (3 t^{2}) + 2 (- 3 t) + 2 (2)}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.4.5

Factoriza $2$ de $2 (- t^{3}) + 2 (3 t^{2})$ .

$- \frac{2 (- t^{3} + 3 t^{2}) + 2 (- 3 t) + 2 (2)}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.4.6

Factoriza $2$ de $2 (- t^{3} + 3 t^{2}) + 2 (- 3 t)$ .

$- \frac{2 (- t^{3} + 3 t^{2} - 3 t) + 2 (2)}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.4.7

Factoriza $2$ de $2 (- t^{3} + 3 t^{2} - 3 t) + 2 (2)$ .

$- \frac{2 (- t^{3} + 3 t^{2} - 3 t + 2)}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.5

Factoriza $- 1$ de $- t^{3}$ .

$- \frac{2 (- (t^{3}) + 3 t^{2} - 3 t + 2)}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.6

Factoriza $- 1$ de $3 t^{2}$ .

$- \frac{2 (- (t^{3}) - (- 3 t^{2}) - 3 t + 2)}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.7

Factoriza $- 1$ de $- (t^{3}) - (- 3 t^{2})$ .

$- \frac{2 (- (t^{3} - 3 t^{2}) - 3 t + 2)}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.8

Factoriza $- 1$ de $- 3 t$ .

$- \frac{2 (- (t^{3} - 3 t^{2}) - (3 t) + 2)}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.9

Factoriza $- 1$ de $- (t^{3} - 3 t^{2}) - (3 t)$ .

$- \frac{2 (- (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t) + 2)}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.10

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$- \frac{2 (- (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t) - 1 (- 2))}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.11

Factoriza $- 1$ de $- (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t) - 1 (- 2)$ .

$- \frac{2 (- (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2))}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.12

Reescribe $- (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2)$ como $- 1 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2)$ .

$- \frac{2 (- 1 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2))}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{2 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2)}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.14

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{2 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2)}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.15

Multiplica $\frac{2 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2)}{{(- t + 1)}^{3}}$ por $1$ .

$f'' (t) = \frac{2 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2)}{{(- t + 1)}^{3}}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{2 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2)}{{(- t + 1)}^{3}}$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2}{{(- t + 1)}^{3}}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2}{{(- t + 1)}^{3}}]$

Paso 3.2

$2 \frac{{(- t + 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2] - (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{3}]}{{({(- t + 1)}^{3})}^{2}}$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(- t + 1)}^{3})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(- t + 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2] - (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{3}]}{{(- t + 1)}^{3 \cdot 2}}$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$2 \frac{{(- t + 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2] - (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{3}]}{{(- t + 1)}^{6}}$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$2 \frac{{(- t + 1)}^{3} (\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 2]) - (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{3}]}{{(- t + 1)}^{6}}$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 \frac{{(- t + 1)}^{3} (3 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 2]) - (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{3}]}{{(- t + 1)}^{6}}$

Paso 3.3.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 3 t^{2}$ con respecto a $t$ es $- 3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$2 \frac{{(- t + 1)}^{3} (3 t^{2} - 3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 2]) - (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{3}]}{{(- t + 1)}^{6}}$

Paso 3.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 \frac{{(- t + 1)}^{3} (3 t^{2} - 3 (2 t) + \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 2]) - (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{3}]}{{(- t + 1)}^{6}}$

Paso 3.3.6

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$2 \frac{{(- t + 1)}^{3} (3 t^{2} - 6 t + \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 2]) - (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{3}]}{{(- t + 1)}^{6}}$

Paso 3.3.7

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3 t$ con respecto a $t$ es $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{{(- t + 1)}^{3} (3 t^{2} - 6 t + 3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]) - (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{3}]}{{(- t + 1)}^{6}}$

Paso 3.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \frac{{(- t + 1)}^{3} (3 t^{2} - 6 t + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 2]) - (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{3}]}{{(- t + 1)}^{6}}$

Paso 3.3.9

Multiplica $3$ por $1$ .

$2 \frac{{(- t + 1)}^{3} (3 t^{2} - 6 t + 3 + \frac{d}{d t} [- 2]) - (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{3}]}{{(- t + 1)}^{6}}$

Paso 3.3.10

Como $- 2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $t$ es $0$ .

$2 \frac{{(- t + 1)}^{3} (3 t^{2} - 6 t + 3 + 0) - (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{3}]}{{(- t + 1)}^{6}}$

Paso 3.3.11

Suma $3 t^{2} - 6 t + 3$ y $0$ .

$2 \frac{{(- t + 1)}^{3} (3 t^{2} - 6 t + 3) - (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) \frac{d}{d t} [{(- t + 1)}^{3}]}{{(- t + 1)}^{6}}$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{3}$ y $g (t) = - t + 1$ .

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Paso 3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- t + 1$ .

$2 \frac{{(- t + 1)}^{3} (3 t^{2} - 6 t + 3) - (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [- t + 1])}{{(- t + 1)}^{6}}$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 \frac{{(- t + 1)}^{3} (3 t^{2} - 6 t + 3) - (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) (3 u^{2} \frac{d}{d t} [- t + 1])}{{(- t + 1)}^{6}}$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- t + 1$ .

$2 \frac{{(- t + 1)}^{3} (3 t^{2} - 6 t + 3) - (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) (3 {(- t + 1)}^{2} \frac{d}{d t} [- t + 1])}{{(- t + 1)}^{6}}$

Paso 3.5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 3.5.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$2 \frac{{(- t + 1)}^{3} (3 t^{2} - 6 t + 3) - 3 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) ({(- t + 1)}^{2} \frac{d}{d t} [- t + 1])}{{(- t + 1)}^{6}}$

Paso 3.5.2

Factoriza ${(- t + 1)}^{2}$ de ${(- t + 1)}^{3} (3 t^{2} - 6 t + 3) - 3 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) ({(- t + 1)}^{2} \frac{d}{d t} [- t + 1])$ .

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Paso 3.5.2.1

Factoriza ${(- t + 1)}^{2}$ de ${(- t + 1)}^{3} (3 t^{2} - 6 t + 3)$ .

$2 \frac{{(- t + 1)}^{2} ((- t + 1) (3 t^{2} - 6 t + 3)) - 3 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) ({(- t + 1)}^{2} \frac{d}{d t} [- t + 1])}{{(- t + 1)}^{6}}$

Paso 3.5.2.2

Factoriza ${(- t + 1)}^{2}$ de $- 3 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) ({(- t + 1)}^{2} \frac{d}{d t} [- t + 1])$ .

$2 \frac{{(- t + 1)}^{2} ((- t + 1) (3 t^{2} - 6 t + 3)) + {(- t + 1)}^{2} (- 3 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) (\frac{d}{d t} [- t + 1]))}{{(- t + 1)}^{6}}$

Paso 3.5.2.3

Factoriza ${(- t + 1)}^{2}$ de ${(- t + 1)}^{2} ((- t + 1) (3 t^{2} - 6 t + 3)) + {(- t + 1)}^{2} (- 3 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) (\frac{d}{d t} [- t + 1]))$ .

$2 \frac{{(- t + 1)}^{2} ((- t + 1) (3 t^{2} - 6 t + 3) - 3 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) (\frac{d}{d t} [- t + 1]))}{{(- t + 1)}^{6}}$

Paso 3.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.6.1

Factoriza ${(- t + 1)}^{2}$ de ${(- t + 1)}^{6}$ .

$2 \frac{{(- t + 1)}^{2} ((- t + 1) (3 t^{2} - 6 t + 3) - 3 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) (\frac{d}{d t} [- t + 1]))}{{(- t + 1)}^{2} {(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.6.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{{(- t + 1)}^{2} ((- t + 1) (3 t^{2} - 6 t + 3) - 3 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) (\frac{d}{d t} [- t + 1]))}{{(- t + 1)}^{2} {(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.6.3

Reescribe la expresión.

$2 \frac{(- t + 1) (3 t^{2} - 6 t + 3) - 3 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) (\frac{d}{d t} [- t + 1])}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $- t + 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$2 \frac{(- t + 1) (3 t^{2} - 6 t + 3) - 3 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) (\frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1])}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.8

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- t$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{(- t + 1) (3 t^{2} - 6 t + 3) - 3 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) (- \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \frac{(- t + 1) (3 t^{2} - 6 t + 3) - 3 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1])}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.10

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 \frac{(- t + 1) (3 t^{2} - 6 t + 3) - 3 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) (- 1 + \frac{d}{d t} [1])}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.11

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$2 \frac{(- t + 1) (3 t^{2} - 6 t + 3) - 3 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) (- 1 + 0)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.12

Combina fracciones.

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Paso 3.12.1

Suma $- 1$ y $0$ .

$2 \frac{(- t + 1) (3 t^{2} - 6 t + 3) - 3 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2) \cdot - 1}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.12.2

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$2 \frac{(- t + 1) (3 t^{2} - 6 t + 3) + 3 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.12.3

Combina $2$ y $\frac{(- t + 1) (3 t^{2} - 6 t + 3) + 3 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$ .

$\frac{2 ((- t + 1) (3 t^{2} - 6 t + 3) + 3 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2))}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.13

Simplifica.

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Paso 3.13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 ((- t + 1) (3 t^{2} - 6 t + 3) + 3 t^{3} + 3 (- 3 t^{2}) + 3 (3 t) + 3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.13.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 ((- t + 1) (3 t^{2} - 6 t + 3)) + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.13.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.13.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.13.3.1.1

Expande $(- t + 1) (3 t^{2} - 6 t + 3)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{2 (- t (3 t^{2}) - t (- 6 t) - t \cdot 3 + 1 (3 t^{2}) + 1 (- 6 t) + 1 \cdot 3) + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.13.3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.13.3.1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 (- 1 \cdot 3 t \cdot t^{2} - t (- 6 t) - t \cdot 3 + 1 (3 t^{2}) + 1 (- 6 t) + 1 \cdot 3) + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.13.3.1.2.2

Multiplica $t$ por $t^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.13.3.1.2.2.1

Mueve $t^{2}$ .

$\frac{2 (- 1 \cdot 3 (t^{2} t) - t (- 6 t) - t \cdot 3 + 1 (3 t^{2}) + 1 (- 6 t) + 1 \cdot 3) + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.13.3.1.2.2.2

Multiplica $t^{2}$ por $t$ .

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Paso 3.13.3.1.2.2.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (- 1 \cdot 3 (t^{2} t^{1}) - t (- 6 t) - t \cdot 3 + 1 (3 t^{2}) + 1 (- 6 t) + 1 \cdot 3) + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.13.3.1.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 (- 1 \cdot 3 t^{2 + 1} - t (- 6 t) - t \cdot 3 + 1 (3 t^{2}) + 1 (- 6 t) + 1 \cdot 3) + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.13.3.1.2.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{2 (- 1 \cdot 3 t^{3} - t (- 6 t) - t \cdot 3 + 1 (3 t^{2}) + 1 (- 6 t) + 1 \cdot 3) + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.13.3.1.2.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{2 (- 3 t^{3} - t (- 6 t) - t \cdot 3 + 1 (3 t^{2}) + 1 (- 6 t) + 1 \cdot 3) + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.13.3.1.2.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 (- 3 t^{3} - 1 \cdot - 6 t \cdot t - t \cdot 3 + 1 (3 t^{2}) + 1 (- 6 t) + 1 \cdot 3) + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.13.3.1.2.5

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 3.13.3.1.2.5.1

Mueve $t$ .

$\frac{2 (- 3 t^{3} - 1 \cdot - 6 (t \cdot t) - t \cdot 3 + 1 (3 t^{2}) + 1 (- 6 t) + 1 \cdot 3) + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.13.3.1.2.5.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$\frac{2 (- 3 t^{3} - 1 \cdot - 6 t^{2} - t \cdot 3 + 1 (3 t^{2}) + 1 (- 6 t) + 1 \cdot 3) + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.13.3.1.2.6

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$\frac{2 (- 3 t^{3} + 6 t^{2} - t \cdot 3 + 1 (3 t^{2}) + 1 (- 6 t) + 1 \cdot 3) + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.13.3.1.2.7

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{2 (- 3 t^{3} + 6 t^{2} - 3 t + 1 (3 t^{2}) + 1 (- 6 t) + 1 \cdot 3) + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.13.3.1.2.8

Multiplica $3 t^{2}$ por $1$ .

$\frac{2 (- 3 t^{3} + 6 t^{2} - 3 t + 3 t^{2} + 1 (- 6 t) + 1 \cdot 3) + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.13.3.1.2.9

Multiplica $- 6 t$ por $1$ .

$\frac{2 (- 3 t^{3} + 6 t^{2} - 3 t + 3 t^{2} - 6 t + 1 \cdot 3) + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.13.3.1.2.10

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{2 (- 3 t^{3} + 6 t^{2} - 3 t + 3 t^{2} - 6 t + 3) + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.13.3.1.3

Suma $6 t^{2}$ y $3 t^{2}$ .

$\frac{2 (- 3 t^{3} + 9 t^{2} - 3 t - 6 t + 3) + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.13.3.1.4

Resta $6 t$ de $- 3 t$ .

$\frac{2 (- 3 t^{3} + 9 t^{2} - 9 t + 3) + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.13.3.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (- 3 t^{3}) + 2 (9 t^{2}) + 2 (- 9 t) + 2 \cdot 3 + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.13.3.1.6

Simplifica.

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Paso 3.13.3.1.6.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$\frac{- 6 t^{3} + 2 (9 t^{2}) + 2 (- 9 t) + 2 \cdot 3 + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.13.3.1.6.2

Multiplica $9$ por $2$ .

$\frac{- 6 t^{3} + 18 t^{2} + 2 (- 9 t) + 2 \cdot 3 + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.13.3.1.6.3

Multiplica $- 9$ por $2$ .

$\frac{- 6 t^{3} + 18 t^{2} - 18 t + 2 \cdot 3 + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.13.3.1.6.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{- 6 t^{3} + 18 t^{2} - 18 t + 6 + 2 (3 t^{3}) + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.13.3.1.7

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{- 6 t^{3} + 18 t^{2} - 18 t + 6 + 6 t^{3} + 2 (3 (- 3 t^{2})) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.13.3.1.8

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$\frac{- 6 t^{3} + 18 t^{2} - 18 t + 6 + 6 t^{3} + 2 (- 9 t^{2}) + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.13.3.1.9

Multiplica $- 9$ por $2$ .

$\frac{- 6 t^{3} + 18 t^{2} - 18 t + 6 + 6 t^{3} - 18 t^{2} + 2 (3 (3 t)) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.13.3.1.10

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{- 6 t^{3} + 18 t^{2} - 18 t + 6 + 6 t^{3} - 18 t^{2} + 2 (9 t) + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.13.3.1.11

Multiplica $9$ por $2$ .

$\frac{- 6 t^{3} + 18 t^{2} - 18 t + 6 + 6 t^{3} - 18 t^{2} + 18 t + 2 (3 \cdot - 2)}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.13.3.1.12

Multiplica $2 (3 \cdot - 2)$ .

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Paso 3.13.3.1.12.1

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\frac{- 6 t^{3} + 18 t^{2} - 18 t + 6 + 6 t^{3} - 18 t^{2} + 18 t + 2 \cdot - 6}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.13.3.1.12.2

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 t^{3} + 18 t^{2} - 18 t + 6 + 6 t^{3} - 18 t^{2} + 18 t - 12}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.13.3.2

Combina los términos opuestos en $- 6 t^{3} + 18 t^{2} - 18 t + 6 + 6 t^{3} - 18 t^{2} + 18 t - 12$ .

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Paso 3.13.3.2.1

Suma $- 6 t^{3}$ y $6 t^{3}$ .

$\frac{18 t^{2} - 18 t + 6 + 0 - 18 t^{2} + 18 t - 12}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.13.3.2.2

Suma $18 t^{2} - 18 t + 6$ y $0$ .

$\frac{18 t^{2} - 18 t + 6 - 18 t^{2} + 18 t - 12}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.13.3.2.3

Resta $18 t^{2}$ de $18 t^{2}$ .

$\frac{- 18 t + 6 + 0 + 18 t - 12}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.13.3.2.4

Suma $- 18 t + 6$ y $0$ .

$\frac{- 18 t + 6 + 18 t - 12}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.13.3.2.5

Suma $- 18 t$ y $18 t$ .

$\frac{0 + 6 - 12}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.13.3.2.6

Suma $0$ y $6$ .

$\frac{6 - 12}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.13.3.3

Resta $12$ de $6$ .

$\frac{- 6}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 3.13.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f''' (t) = - \frac{6}{{(- t + 1)}^{4}}$

Paso 4

La tercera derivada de $f (t)$ con respecto a $t$ es $- \frac{6}{{(- t + 1)}^{4}}$ .

$- \frac{6}{{(- t + 1)}^{4}}$