Cálculo Ejemplos

$f (x) = (x^{2} + 3) (5 x^{2} - 3)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2} + 3$ y $g (x) = 5 x^{2} - 3$ .

$(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3] + (5 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{2} - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (5 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Paso 1.2.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{2} + 3) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (5 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(x^{2} + 3) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]) + (5 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Paso 1.2.4

Multiplica $2$ por $5$ .

$(x^{2} + 3) (10 x + \frac{d}{d x} [- 3]) + (5 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Paso 1.2.5

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x^{2} + 3) (10 x + 0) + (5 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Paso 1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.6.1

Suma $10 x$ y $0$ .

$(x^{2} + 3) (10 x) + (5 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Paso 1.2.6.2

Mueve $10$ a la izquierda de $x^{2} + 3$ .

$10 \cdot (x^{2} + 3) x + (5 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Paso 1.2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$10 (x^{2} + 3) x + (5 x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 1.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$10 (x^{2} + 3) x + (5 x^{2} - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 1.2.9

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$10 (x^{2} + 3) x + (5 x^{2} - 3) (2 x + 0)$

Paso 1.2.10

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.10.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$10 (x^{2} + 3) x + (5 x^{2} - 3) (2 x)$

Paso 1.2.10.2

Mueve $2$ a la izquierda de $5 x^{2} - 3$ .

$10 (x^{2} + 3) x + 2 \cdot (5 x^{2} - 3) x$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(10 x^{2} + 10 \cdot 3) x + 2 (5 x^{2} - 3) x$

Paso 1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$10 x^{2} x + 10 \cdot 3 x + 2 (5 x^{2} - 3) x$

Paso 1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$10 x^{2} x + 10 \cdot 3 x + (2 (5 x^{2}) + 2 \cdot - 3) x$

Paso 1.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$10 x^{2} x + 10 \cdot 3 x + 2 (5 x^{2}) x + 2 \cdot - 3 x$

Paso 1.3.5

Combina los términos.

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Paso 1.3.5.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$10 (x^{1} x^{2}) + 10 \cdot 3 x + 2 (5 x^{2}) x + 2 \cdot - 3 x$

Paso 1.3.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$10 x^{1 + 2} + 10 \cdot 3 x + 2 (5 x^{2}) x + 2 \cdot - 3 x$

Paso 1.3.5.3

Suma $1$ y $2$ .

$10 x^{3} + 10 \cdot 3 x + 2 (5 x^{2}) x + 2 \cdot - 3 x$

Paso 1.3.5.4

Multiplica $10$ por $3$ .

$10 x^{3} + 30 x + 2 (5 x^{2}) x + 2 \cdot - 3 x$

Paso 1.3.5.5

Multiplica $5$ por $2$ .

$10 x^{3} + 30 x + 10 x^{2} x + 2 \cdot - 3 x$

Paso 1.3.5.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$10 x^{3} + 30 x + 10 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 3 x$

Paso 1.3.5.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$10 x^{3} + 30 x + 10 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 3 x$

Paso 1.3.5.8

Suma $1$ y $2$ .

$10 x^{3} + 30 x + 10 x^{3} + 2 \cdot - 3 x$

Paso 1.3.5.9

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$10 x^{3} + 30 x + 10 x^{3} - 6 x$

Paso 1.3.5.10

Suma $10 x^{3}$ y $10 x^{3}$ .

$20 x^{3} + 30 x - 6 x$

Paso 1.3.5.11

Resta $6 x$ de $30 x$ .

$f' (x) = 20 x^{3} + 24 x$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $20 x^{3} + 24 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $20 x^{3}$ con respecto a $x$ es $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x]$

Paso 2.2.3

Multiplica $3$ por $20$ .

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [24 x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $24 x$ con respecto a $x$ es $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$60 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$60 x^{2} + 24 \cdot 1$

Paso 2.3.3

Multiplica $24$ por $1$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} + 24$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $60 x^{2} + 24$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24]$ .

$\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $60$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $60 x^{2}$ con respecto a $x$ es $60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$60 (2 x) + \frac{d}{d x} [24]$

Paso 3.2.3

Multiplica $2$ por $60$ .

$120 x + \frac{d}{d x} [24]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.3.1

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $24$ con respecto a $x$ es $0$ .

$120 x + 0$

Paso 3.3.2

Suma $120 x$ y $0$ .

$f''' (x) = 120 x$

Paso 4

La tercera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $120 x$ .

$120 x$