Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(\frac{x}{12})}^{15}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{15}$ y $g (x) = \frac{x}{12}$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{12}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{15}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{12}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 15$ .

$15 u^{14} \frac{d}{d x} [\frac{x}{12}]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{12}$ .

$15 {(\frac{x}{12})}^{14} \frac{d}{d x} [\frac{x}{12}]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Como $\frac{1}{12}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{12}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 {(\frac{x}{12})}^{14} (\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.2

Simplifica los términos.

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Paso 1.2.2.1

Combina $\frac{1}{12}$ y $15$ .

$\frac{15}{12} {(\frac{x}{12})}^{14} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.2.2

Cancela el factor común de $15$ y $12$ .

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Paso 1.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $15$ .

$\frac{3 (5)}{12} {(\frac{x}{12})}^{14} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$\frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 4} {(\frac{x}{12})}^{14} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 4} {(\frac{x}{12})}^{14} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{4} {(\frac{x}{12})}^{14} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{5}{4} {(\frac{x}{12})}^{14} \cdot 1$

Paso 1.2.4

Multiplica $\frac{5}{4}$ por $1$ .

$\frac{5}{4} {(\frac{x}{12})}^{14}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{x}{12}$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{x^{14}}{12^{14}}$

Paso 1.3.2

Combina los términos.

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Paso 1.3.2.1

Eleva $12$ a la potencia de $14$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{x^{14}}{1283918464548860}$

Paso 1.3.2.2

Multiplica $\frac{5}{4}$ por $\frac{x^{14}}{1283918464548860}$ .

$\frac{5 x^{14}}{4 \cdot 1283918464548860}$

Paso 1.3.2.3

Multiplica $4$ por $1283918464548860$ .

$\frac{5 x^{14}}{5135673858195440}$

Paso 1.3.2.4

Cancela el factor común de $5$ y $5135673858195440$ .

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Paso 1.3.2.4.1

Factoriza $5$ de $5 x^{14}$ .

$\frac{5 (x^{14})}{5135673858195440}$

Paso 1.3.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.2.4.2.1

Factoriza $5$ de $5135673858195440$ .

$\frac{5 x^{14}}{5 \cdot 1027134771639088}$

Paso 1.3.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 x^{14}}{5 \cdot 1027134771639088}$

Paso 1.3.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{x^{14}}{1027134771639088}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $\frac{1}{1027134771639088}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{14}}{1027134771639088}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{1027134771639088} \frac{d}{d x} [x^{14}]$ .

$\frac{1}{1027134771639088} \frac{d}{d x} [x^{14}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 14$ .

$\frac{1}{1027134771639088} (14 x^{13})$

Paso 2.3

Simplifica los términos.

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Paso 2.3.1

Combina $14$ y $\frac{1}{1027134771639088}$ .

$\frac{14}{1027134771639088} x^{13}$

Paso 2.3.2

Combina $\frac{14}{1027134771639088}$ y $x^{13}$ .

$\frac{14 x^{13}}{1027134771639088}$

Paso 2.3.3

Cancela el factor común de $14$ y $1027134771639088$ .

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Paso 2.3.3.1

Factoriza $14$ de $14 x^{13}$ .

$\frac{14 (x^{13})}{1027134771639088}$

Paso 2.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.3.2.1

Factoriza $14$ de $1027134771639088$ .

$\frac{14 x^{13}}{14 \cdot 73366769402792}$

Paso 2.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{14 x^{13}}{14 \cdot 73366769402792}$

Paso 2.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{x^{13}}{73366769402792}$

Paso 3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{x^{13}}{73366769402792}$ .

$\frac{x^{13}}{73366769402792}$