Cálculo Ejemplos

$f (t) = \frac{7 \ln (t)}{t}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Como $7$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{7 \ln (t)}{t}$ con respecto a $t$ es $7 \frac{d}{d t} [\frac{\ln (t)}{t}]$ .

$7 \frac{d}{d t} [\frac{\ln (t)}{t}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = \ln (t)$ y $g (t) = t$ .

$7 \frac{t \frac{d}{d t} [\ln (t)] - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Paso 1.3

La derivada de $\ln (t)$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{t}$ .

$7 \frac{t \frac{1}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.4.1

Combina $t$ y $\frac{1}{t}$ .

$7 \frac{\frac{t}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $t$ .

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Paso 1.4.2.1

Cancela el factor común.

$7 \frac{\frac{t}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Paso 1.4.2.2

Reescribe la expresión.

$7 \frac{1 - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Paso 1.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$7 \frac{1 - \ln (t) \cdot 1}{t^{2}}$

Paso 1.4.4

Combina fracciones.

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Paso 1.4.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$7 \frac{1 - \ln (t)}{t^{2}}$

Paso 1.4.4.2

Combina $7$ y $\frac{1 - \ln (t)}{t^{2}}$ .

$\frac{7 (1 - \ln (t))}{t^{2}}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{7 \cdot 1 + 7 (- \ln (t))}{t^{2}}$

Paso 1.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.2.1

Multiplica $7$ por $1$ .

$\frac{7 + 7 (- \ln (t))}{t^{2}}$

Paso 1.5.2.2

Multiplica $7 (- \ln (t))$ .

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Paso 1.5.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$\frac{7 - 7 \ln (t)}{t^{2}}$

Paso 1.5.2.2.2

Simplifica $- 7 \ln (t)$ al mover $7$ dentro del algoritmo.

$f' (t) = \frac{7 - \ln (t^{7})}{t^{2}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [7 - \ln (t^{7})] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Multiplica los exponentes en ${(t^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [7 - \ln (t^{7})] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [7 - \ln (t^{7})] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Paso 2.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $7 - \ln (t^{7})$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [7] + \frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})]$ .

$\frac{t^{2} (\frac{d}{d t} [7] + \frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})]) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Paso 2.2.3

Como $7$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $7$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{t^{2} (0 + \frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})]) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Paso 2.2.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})]$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Paso 2.2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- \ln (t^{7})$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [\ln (t^{7})]$ .

$\frac{t^{2} (- \frac{d}{d t} [\ln (t^{7})]) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \ln (t)$ y $g (t) = t^{7}$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $t^{7}$ .

$\frac{t^{2} (- (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t^{7}])) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Paso 2.3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{t^{2} (- (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t^{7}])) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t^{7}$ .

$\frac{t^{2} (- (\frac{1}{t^{7}} \frac{d}{d t} [t^{7}])) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.4.1

Combina $t^{2}$ y $\frac{1}{t^{7}}$ .

$\frac{- \frac{t^{2}}{t^{7}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Paso 2.4.2

Cancela el factor común de $t^{2}$ y $t^{7}$ .

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Paso 2.4.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{- \frac{t^{2} \cdot 1}{t^{7}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Paso 2.4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.2.2.1

Factoriza $t^{2}$ de $t^{7}$ .

$\frac{- \frac{t^{2} \cdot 1}{t^{2} t^{5}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Paso 2.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- \frac{t^{2} \cdot 1}{t^{2} t^{5}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Paso 2.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- \frac{1}{t^{5}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Paso 2.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$\frac{- \frac{1}{t^{5}} (7 t^{6}) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Paso 2.4.4

Simplifica los términos.

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Paso 2.4.4.1

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$\frac{- 7 \frac{1}{t^{5}} t^{6} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Paso 2.4.4.2

Combina $- 7$ y $\frac{1}{t^{5}}$ .

$\frac{\frac{- 7}{t^{5}} t^{6} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Paso 2.4.4.3

Combina $\frac{- 7}{t^{5}}$ y $t^{6}$ .

$\frac{\frac{- 7 t^{6}}{t^{5}} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Paso 2.4.4.4

Cancela el factor común de $t^{6}$ y $t^{5}$ .

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Paso 2.4.4.4.1

Factoriza $t^{5}$ de $- 7 t^{6}$ .

$\frac{\frac{t^{5} (- 7 t)}{t^{5}} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Paso 2.4.4.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.4.4.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{\frac{t^{5} (- 7 t)}{t^{5} \cdot 1} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Paso 2.4.4.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{t^{5} (- 7 t)}{t^{5} \cdot 1} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Paso 2.4.4.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{- 7 t}{1} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Paso 2.4.4.4.2.4

Divide $- 7 t$ por $1$ .

$\frac{- 7 t - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Paso 2.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{- 7 t - (7 - \ln (t^{7})) (2 t)}{t^{4}}$

Paso 2.4.6

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.4.6.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 7 t - 2 (7 - \ln (t^{7})) t}{t^{4}}$

Paso 2.4.6.2

Factoriza $t$ de $- 7 t - 2 (7 - \ln (t^{7})) t$ .

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Paso 2.4.6.2.1

Factoriza $t$ de $- 7 t$ .

$\frac{t \cdot - 7 - 2 (7 - \ln (t^{7})) t}{t^{4}}$

Paso 2.4.6.2.2

Factoriza $t$ de $- 2 (7 - \ln (t^{7})) t$ .

$\frac{t \cdot - 7 + t (- 2 (7 - \ln (t^{7})))}{t^{4}}$

Paso 2.4.6.2.3

Factoriza $t$ de $t \cdot - 7 + t (- 2 (7 - \ln (t^{7})))$ .

$\frac{t (- 7 - 2 (7 - \ln (t^{7})))}{t^{4}}$

Paso 2.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.5.1

Factoriza $t$ de $t^{4}$ .

$\frac{t (- 7 - 2 (7 - \ln (t^{7})))}{t \cdot t^{3}}$

Paso 2.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{t (- 7 - 2 (7 - \ln (t^{7})))}{t \cdot t^{3}}$

Paso 2.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 7 - 2 (7 - \ln (t^{7}))}{t^{3}}$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 7 - 2 \cdot 7 - 2 (- \ln (t^{7}))}{t^{3}}$

Paso 2.6.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.2.1.1

Multiplica $- 2$ por $7$ .

$\frac{- 7 - 14 - 2 (- \ln (t^{7}))}{t^{3}}$

Paso 2.6.2.1.2

Multiplica $- 2 (- \ln (t^{7}))$ .

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Paso 2.6.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 7 - 14 + 2 \ln (t^{7})}{t^{3}}$

Paso 2.6.2.1.2.2

Simplifica $2 \ln (t^{7})$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{- 7 - 14 + \ln ({(t^{7})}^{2})}{t^{3}}$

Paso 2.6.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(t^{7})}^{2}$ .

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Paso 2.6.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 7 - 14 + \ln (t^{7 \cdot 2})}{t^{3}}$

Paso 2.6.2.1.3.2

Multiplica $7$ por $2$ .

$\frac{- 7 - 14 + \ln (t^{14})}{t^{3}}$

Paso 2.6.2.2

Resta $14$ de $- 7$ .

$\frac{- 21 + \ln (t^{14})}{t^{3}}$

Paso 2.6.3

Reescribe $- 21$ como $- 1 (21)$ .

$\frac{- 1 (21) + \ln (t^{14})}{t^{3}}$

Paso 2.6.4

Factoriza $- 1$ de $\ln (t^{14})$ .

$\frac{- 1 (21) - 1 (- \ln (t^{14}))}{t^{3}}$

Paso 2.6.5

Factoriza $- 1$ de $- 1 (21) - 1 (- \ln (t^{14}))$ .

$\frac{- 1 (21 - \ln (t^{14}))}{t^{3}}$

Paso 2.6.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (t) = - \frac{21 - \ln (t^{14})}{t^{3}}$

Paso 3

La segunda derivada de $f (t)$ con respecto a $t$ es $- \frac{21 - \ln (t^{14})}{t^{3}}$ .

$- \frac{21 - \ln (t^{14})}{t^{3}}$