Cálculo Ejemplos

$f (x) = 1 + x + x^{2} + \ln (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x + x^{2} + \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 1.1.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 1 + 2 x + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$0 + 1 + 2 x + \frac{1}{x}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Suma $0$ y $1$ .

$1 + 2 x + \frac{1}{x}$

Paso 1.3.2

Reordena los términos.

$f' (x) = 2 x + \frac{1}{x} + 1$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + \frac{1}{x} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Paso 2.3.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$2 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$2 - x^{- 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 - x^{- 2} + 0$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 - \frac{1}{x^{2}} + 0$

Paso 2.5.2

Suma $2 - \frac{1}{x^{2}}$ y $0$ .

$2 - \frac{1}{x^{2}}$

Paso 2.5.3

Reordena los términos.

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 2$

Paso 3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{x^{2}} + 2$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 2$