Cálculo Ejemplos

$P (t) = \frac{1000 e^{0.12 t}}{19 + e^{0.12 t}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Como $1000$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{1000 e^{0.12 t}}{19 + e^{0.12 t}}$ con respecto a $t$ es $1000 \frac{d}{d t} [\frac{e^{0.12 t}}{19 + e^{0.12 t}}]$ .

$1000 \frac{d}{d t} [\frac{e^{0.12 t}}{19 + e^{0.12 t}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = e^{0.12 t}$ y $g (t) = 19 + e^{0.12 t}$ .

$1000 \frac{(19 + e^{0.12 t}) \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}] - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = 0.12 t$ .

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Paso 1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $0.12 t$ .

$1000 \frac{(19 + e^{0.12 t}) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [0.12 t]) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$1000 \frac{(19 + e^{0.12 t}) (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [0.12 t]) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Paso 1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $0.12 t$ .

$1000 \frac{(19 + e^{0.12 t}) (e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [0.12 t]) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Paso 1.4

Diferencia.

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Paso 1.4.1

Como $0.12$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $0.12 t$ con respecto a $t$ es $0.12 \frac{d}{d t} [t]$ .

$1000 \frac{(19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} (0.12 \frac{d}{d t} [t]) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1000 \frac{(19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} (0.12 \cdot 1) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Paso 1.4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.4.3.1

Multiplica $0.12$ por $1$ .

$1000 \frac{(19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} \cdot 0.12 - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Paso 1.4.3.2

Mueve $0.12$ a la izquierda de $(19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t}$ .

$1000 \frac{0.12 \cdot ((19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t}) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Paso 1.4.4

Según la regla de la suma, la derivada de $19 + e^{0.12 t}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [19] + \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}]$ .

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - e^{0.12 t} (\frac{d}{d t} [19] + \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Paso 1.4.5

Como $19$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $19$ con respecto a $t$ es $0$ .

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - e^{0.12 t} (0 + \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Paso 1.4.6

Suma $0$ y $\frac{d}{d t} [e^{0.12 t}]$ .

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Paso 1.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = 0.12 t$ .

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Paso 1.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $0.12 t$ .

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - e^{0.12 t} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [0.12 t])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Paso 1.5.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - e^{0.12 t} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [0.12 t])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Paso 1.5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $0.12 t$ .

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - e^{0.12 t} (e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [0.12 t])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Paso 1.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - e^{0.12 t + 0.12 t} \frac{d}{d t} [0.12 t]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Paso 1.7

Suma $0.12 t$ y $0.12 t$ .

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - e^{0.24 t} \frac{d}{d t} [0.12 t]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Paso 1.8

Como $0.12$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $0.12 t$ con respecto a $t$ es $0.12 \frac{d}{d t} [t]$ .

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - e^{0.24 t} (0.12 \frac{d}{d t} [t])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Paso 1.9

Multiplica $0.12$ por $- 1$ .

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - 0.12 e^{0.24 t} \frac{d}{d t} [t]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Paso 1.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - 0.12 e^{0.24 t} \cdot 1}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Paso 1.11

Combina fracciones.

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Paso 1.11.1

Multiplica $- 0.12$ por $1$ .

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - 0.12 e^{0.24 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Paso 1.11.2

Combina $1000$ y $\frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - 0.12 e^{0.24 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$ .

$\frac{1000 (0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - 0.12 e^{0.24 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Paso 1.12

Simplifica.

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Paso 1.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1000 ((0.12 \cdot 19 + 0.12 e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - 0.12 e^{0.24 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Paso 1.12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1000 (0.12 \cdot 19 e^{0.12 t} + 0.12 e^{0.12 t} e^{0.12 t} - 0.12 e^{0.24 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Paso 1.12.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1000 (0.12 \cdot 19 e^{0.12 t}) + 1000 (0.12 e^{0.12 t} e^{0.12 t}) + 1000 (- 0.12 e^{0.24 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Paso 1.12.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.12.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.12.4.1.1

Multiplica $0.12$ por $19$ .

$\frac{1000 (2.28 e^{0.12 t}) + 1000 (0.12 e^{0.12 t} e^{0.12 t}) + 1000 (- 0.12 e^{0.24 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Paso 1.12.4.1.2

Multiplica $2.28$ por $1000$ .

$\frac{2280 e^{0.12 t} + 1000 (0.12 e^{0.12 t} e^{0.12 t}) + 1000 (- 0.12 e^{0.24 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Paso 1.12.4.1.3

Multiplica $e^{0.12 t}$ por $e^{0.12 t}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.12.4.1.3.1

Mueve $e^{0.12 t}$ .

$\frac{2280 e^{0.12 t} + 1000 (0.12 (e^{0.12 t} e^{0.12 t})) + 1000 (- 0.12 e^{0.24 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Paso 1.12.4.1.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2280 e^{0.12 t} + 1000 (0.12 e^{0.12 t + 0.12 t}) + 1000 (- 0.12 e^{0.24 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Paso 1.12.4.1.3.3

Suma $0.12 t$ y $0.12 t$ .

$\frac{2280 e^{0.12 t} + 1000 (0.12 e^{0.24 t}) + 1000 (- 0.12 e^{0.24 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Paso 1.12.4.1.4

Multiplica $0.12$ por $1000$ .

$\frac{2280 e^{0.12 t} + 120 e^{0.24 t} + 1000 (- 0.12 e^{0.24 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Paso 1.12.4.1.5

Multiplica $- 0.12$ por $1000$ .

$\frac{2280 e^{0.12 t} + 120 e^{0.24 t} - 120 e^{0.24 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Paso 1.12.4.2

Resta $120 e^{0.24 t}$ de $120 e^{0.24 t}$ .

$\frac{2280 e^{0.12 t} + 0 e^{0.24 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Paso 1.12.4.3

Multiplica $0$ por $e^{0.24 t}$ .

$\frac{2280 e^{0.12 t} + 0}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Paso 1.12.4.4

Suma $2280 e^{0.12 t}$ y $0$ .

$f' (t) = \frac{2280 e^{0.12 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $2280$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{2280 e^{0.12 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$ con respecto a $t$ es $2280 \frac{d}{d t} [\frac{e^{0.12 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}]$ .

$2280 \frac{d}{d t} [\frac{e^{0.12 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}]$

Paso 2.2

$2280 \frac{{(19 + e^{0.12 t})}^{2} \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}] - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [{(19 + e^{0.12 t})}^{2}]}{{({(19 + e^{0.12 t})}^{2})}^{2}}$

Paso 2.3

Multiplica los exponentes en ${({(19 + e^{0.12 t})}^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2280 \frac{{(19 + e^{0.12 t})}^{2} \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}] - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [{(19 + e^{0.12 t})}^{2}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$2280 \frac{{(19 + e^{0.12 t})}^{2} \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}] - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [{(19 + e^{0.12 t})}^{2}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = 0.12 t$ .

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Paso 2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $0.12 t$ .

$2280 \frac{{(19 + e^{0.12 t})}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [0.12 t]) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [{(19 + e^{0.12 t})}^{2}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$2280 \frac{{(19 + e^{0.12 t})}^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [0.12 t]) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [{(19 + e^{0.12 t})}^{2}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $0.12 t$ .

$2280 \frac{{(19 + e^{0.12 t})}^{2} (e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [0.12 t]) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [{(19 + e^{0.12 t})}^{2}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.5

Diferencia.

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Paso 2.5.1

Como $0.12$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $0.12 t$ con respecto a $t$ es $0.12 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2280 \frac{{(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} (0.12 \frac{d}{d t} [t]) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [{(19 + e^{0.12 t})}^{2}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2280 \frac{{(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} (0.12 \cdot 1) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [{(19 + e^{0.12 t})}^{2}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.5.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.5.3.1

Multiplica $0.12$ por $1$ .

$2280 \frac{{(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} \cdot 0.12 - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [{(19 + e^{0.12 t})}^{2}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.5.3.2

Mueve $0.12$ a la izquierda de ${(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t}$ .

$2280 \frac{0.12 \cdot ({(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t}) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [{(19 + e^{0.12 t})}^{2}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{2}$ y $g (t) = 19 + e^{0.12 t}$ .

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Paso 2.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $19 + e^{0.12 t}$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - e^{0.12 t} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - e^{0.12 t} (2 u_{2} \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $19 + e^{0.12 t}$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - e^{0.12 t} (2 (19 + e^{0.12 t}) \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.7

Diferencia.

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Paso 2.7.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 2 e^{0.12 t} ((19 + e^{0.12 t}) \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.7.2

Según la regla de la suma, la derivada de $19 + e^{0.12 t}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [19] + \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}]$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 2 e^{0.12 t} ((19 + e^{0.12 t}) (\frac{d}{d t} [19] + \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}]))}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.7.3

Como $19$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $19$ con respecto a $t$ es $0$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 2 e^{0.12 t} ((19 + e^{0.12 t}) (0 + \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}]))}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.7.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d t} [e^{0.12 t}]$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 2 e^{0.12 t} ((19 + e^{0.12 t}) \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = 0.12 t$ .

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Paso 2.8.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $0.12 t$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 2 e^{0.12 t} ((19 + e^{0.12 t}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d t} [0.12 t]))}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.8.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ es $a^{u_{3}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 2 e^{0.12 t} ((19 + e^{0.12 t}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d t} [0.12 t]))}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.8.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $0.12 t$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 2 e^{0.12 t} ((19 + e^{0.12 t}) (e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [0.12 t]))}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 2 e^{0.12 t + 0.12 t} ((19 + e^{0.12 t}) \frac{d}{d t} [0.12 t])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.10

Suma $0.12 t$ y $0.12 t$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 2 e^{0.24 t} ((19 + e^{0.12 t}) \frac{d}{d t} [0.12 t])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.11

Como $0.12$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $0.12 t$ con respecto a $t$ es $0.12 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 2 e^{0.24 t} ((19 + e^{0.12 t}) (0.12 \frac{d}{d t} [t]))}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.12

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.12.1

Mueve $0.12$ a la izquierda de $19 + e^{0.12 t}$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 2 e^{0.24 t} (0.12 \cdot (19 + e^{0.12 t}) \frac{d}{d t} [t])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.12.2

Multiplica $0.12$ por $- 2$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 0.24 e^{0.24 t} ((19 + e^{0.12 t}) \frac{d}{d t} [t])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 0.24 e^{0.24 t} ((19 + e^{0.12 t}) \cdot 1)}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.14

Combina fracciones.

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Paso 2.14.1

Multiplica $19 + e^{0.12 t}$ por $1$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 0.24 e^{0.24 t} (19 + e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.14.2

Combina $2280$ y $\frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 0.24 e^{0.24 t} (19 + e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$ .

$\frac{2280 (0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 0.24 e^{0.24 t} (19 + e^{0.12 t}))}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.15

Simplifica.

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Paso 2.15.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2280 (0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19 - 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.15.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2280 (0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.15.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.15.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.15.3.1.1

Reescribe ${(19 + e^{0.12 t})}^{2}$ como $(19 + e^{0.12 t}) (19 + e^{0.12 t})$ .

$\frac{2280 (0.12 ((19 + e^{0.12 t}) (19 + e^{0.12 t})) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.15.3.1.2

Expande $(19 + e^{0.12 t}) (19 + e^{0.12 t})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 2.15.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2280 (0.12 (19 (19 + e^{0.12 t}) + e^{0.12 t} (19 + e^{0.12 t})) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.15.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2280 (0.12 (19 \cdot 19 + 19 e^{0.12 t} + e^{0.12 t} (19 + e^{0.12 t})) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.15.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2280 (0.12 (19 \cdot 19 + 19 e^{0.12 t} + e^{0.12 t} \cdot 19 + e^{0.12 t} e^{0.12 t}) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.15.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.15.3.1.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.15.3.1.3.1.1

Multiplica $19$ por $19$ .

$\frac{2280 (0.12 (361 + 19 e^{0.12 t} + e^{0.12 t} \cdot 19 + e^{0.12 t} e^{0.12 t}) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.15.3.1.3.1.2

Mueve $19$ a la izquierda de $e^{0.12 t}$ .

$\frac{2280 (0.12 (361 + 19 e^{0.12 t} + 19 \cdot e^{0.12 t} + e^{0.12 t} e^{0.12 t}) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.15.3.1.3.1.3

Multiplica $e^{0.12 t}$ por $e^{0.12 t}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.15.3.1.3.1.3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2280 (0.12 (361 + 19 e^{0.12 t} + 19 e^{0.12 t} + e^{0.12 t + 0.12 t}) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.15.3.1.3.1.3.2

Suma $0.12 t$ y $0.12 t$ .

$\frac{2280 (0.12 (361 + 19 e^{0.12 t} + 19 e^{0.12 t} + e^{0.24 t}) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.15.3.1.3.2

Suma $19 e^{0.12 t}$ y $19 e^{0.12 t}$ .

$\frac{2280 (0.12 (361 + 38 e^{0.12 t} + e^{0.24 t}) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.15.3.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2280 ((0.12 \cdot 361 + 0.12 (38 e^{0.12 t}) + 0.12 e^{0.24 t}) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.15.3.1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.15.3.1.5.1

Multiplica $0.12$ por $361$ .

$\frac{2280 ((43.32 + 0.12 (38 e^{0.12 t}) + 0.12 e^{0.24 t}) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.15.3.1.5.2

Multiplica $38$ por $0.12$ .

$\frac{2280 ((43.32 + 4.56 e^{0.12 t} + 0.12 e^{0.24 t}) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.15.3.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2280 (43.32 e^{0.12 t} + 4.56 e^{0.12 t} e^{0.12 t} + 0.12 e^{0.24 t} e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.15.3.1.7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.15.3.1.7.1

Multiplica $e^{0.12 t}$ por $e^{0.12 t}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.15.3.1.7.1.1

Mueve $e^{0.12 t}$ .

$\frac{2280 (43.32 e^{0.12 t} + 4.56 (e^{0.12 t} e^{0.12 t}) + 0.12 e^{0.24 t} e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.15.3.1.7.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2280 (43.32 e^{0.12 t} + 4.56 e^{0.12 t + 0.12 t} + 0.12 e^{0.24 t} e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.15.3.1.7.1.3

Suma $0.12 t$ y $0.12 t$ .

$\frac{2280 (43.32 e^{0.12 t} + 4.56 e^{0.24 t} + 0.12 e^{0.24 t} e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.15.3.1.7.2

Multiplica $e^{0.24 t}$ por $e^{0.12 t}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.15.3.1.7.2.1

Mueve $e^{0.12 t}$ .

$\frac{2280 (43.32 e^{0.12 t} + 4.56 e^{0.24 t} + 0.12 (e^{0.12 t} e^{0.24 t})) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.15.3.1.7.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2280 (43.32 e^{0.12 t} + 4.56 e^{0.24 t} + 0.12 e^{0.12 t + 0.24 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.15.3.1.7.2.3

Suma $0.12 t$ y $0.24 t$ .

$\frac{2280 (43.32 e^{0.12 t} + 4.56 e^{0.24 t} + 0.12 e^{0.36 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.15.3.1.8

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2280 (43.32 e^{0.12 t}) + 2280 (4.56 e^{0.24 t}) + 2280 (0.12 e^{0.36 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.15.3.1.9

Simplifica.

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Paso 2.15.3.1.9.1

Multiplica $43.32$ por $2280$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 2280 (4.56 e^{0.24 t}) + 2280 (0.12 e^{0.36 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.15.3.1.9.2

Multiplica $4.56$ por $2280$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 10396.8 e^{0.24 t} + 2280 (0.12 e^{0.36 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.15.3.1.9.3

Multiplica $0.12$ por $2280$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 10396.8 e^{0.24 t} + 273.6 e^{0.36 t} + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.15.3.1.10

Multiplica $19$ por $- 0.24$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 10396.8 e^{0.24 t} + 273.6 e^{0.36 t} + 2280 (- 4.56 e^{0.24 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.15.3.1.11

Multiplica $- 4.56$ por $2280$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 10396.8 e^{0.24 t} + 273.6 e^{0.36 t} - 10396.8 e^{0.24 t} + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.15.3.1.12

Multiplica $e^{0.24 t}$ por $e^{0.12 t}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.15.3.1.12.1

Mueve $e^{0.12 t}$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 10396.8 e^{0.24 t} + 273.6 e^{0.36 t} - 10396.8 e^{0.24 t} + 2280 (- 0.24 (e^{0.12 t} e^{0.24 t}))}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.15.3.1.12.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 10396.8 e^{0.24 t} + 273.6 e^{0.36 t} - 10396.8 e^{0.24 t} + 2280 (- 0.24 e^{0.12 t + 0.24 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.15.3.1.12.3

Suma $0.12 t$ y $0.24 t$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 10396.8 e^{0.24 t} + 273.6 e^{0.36 t} - 10396.8 e^{0.24 t} + 2280 (- 0.24 e^{0.36 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.15.3.1.13

Multiplica $- 0.24$ por $2280$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 10396.8 e^{0.24 t} + 273.6 e^{0.36 t} - 10396.8 e^{0.24 t} - 547.2 e^{0.36 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.15.3.2

Resta $10396.8 e^{0.24 t}$ de $10396.8 e^{0.24 t}$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 273.6 e^{0.36 t} + 0 e^{0.24 t} - 547.2 e^{0.36 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.15.3.3

Multiplica $0$ por $e^{0.24 t}$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 273.6 e^{0.36 t} + 0 - 547.2 e^{0.36 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.15.3.4

Suma $98769.6 e^{0.12 t} + 273.6 e^{0.36 t}$ y $0$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 273.6 e^{0.36 t} - 547.2 e^{0.36 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.15.3.5

Resta $547.2 e^{0.36 t}$ de $273.6 e^{0.36 t}$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} - 273.6 e^{0.36 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.15.4

Factoriza $273.6$ de $98769.6 e^{0.12 t} - 273.6 e^{0.36 t}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.15.4.1

Factoriza $273.6$ de $98769.6 e^{0.12 t}$ .

$\frac{273.6 (361 e^{0.12 t}) - 273.6 e^{0.36 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.15.4.2

Factoriza $273.6$ de $- 273.6 e^{0.36 t}$ .

$\frac{273.6 (361 e^{0.12 t}) + 273.6 (- e^{0.36 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 2.15.4.3

Factoriza $273.6$ de $273.6 (361 e^{0.12 t}) + 273.6 (- e^{0.36 t})$ .

$f'' (t) = \frac{273.6 (361 e^{0.12 t} - e^{0.36 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Paso 3

La segunda derivada de $P (t)$ con respecto a $t$ es $\frac{273.6 (361 e^{0.12 t} - e^{0.36 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$ .

$\frac{273.6 (361 e^{0.12 t} - e^{0.36 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$