Cálculo Ejemplos

$f (r) = r {(4 r + 9)}^{3}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ es $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ donde $f (r) = r$ y $g (r) = {(4 r + 9)}^{3}$ .

$r \frac{d}{d r} [{(4 r + 9)}^{3}] + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ es $f' (g (r)) g' (r)$ donde $f (r) = r^{3}$ y $g (r) = 4 r + 9$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 r + 9$ .

$r (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d r} [4 r + 9]) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$r (3 u^{2} \frac{d}{d r} [4 r + 9]) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 r + 9$ .

$r (3 {(4 r + 9)}^{2} \frac{d}{d r} [4 r + 9]) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 r + 9$ con respecto a $r$ es $\frac{d}{d r} [4 r] + \frac{d}{d r} [9]$ .

$r (3 {(4 r + 9)}^{2} (\frac{d}{d r} [4 r] + \frac{d}{d r} [9])) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Paso 1.3.2

Como $4$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $4 r$ con respecto a $r$ es $4 \frac{d}{d r} [r]$ .

$r (3 {(4 r + 9)}^{2} (4 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [9])) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$r (3 {(4 r + 9)}^{2} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [9])) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Paso 1.3.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$r (3 {(4 r + 9)}^{2} (4 + \frac{d}{d r} [9])) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Paso 1.3.5

Como $9$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $9$ con respecto a $r$ es $0$ .

$r (3 {(4 r + 9)}^{2} (4 + 0)) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Paso 1.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.6.1

Suma $4$ y $0$ .

$r (3 {(4 r + 9)}^{2} \cdot 4) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Paso 1.3.6.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$r (12 {(4 r + 9)}^{2}) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$r (12 {(4 r + 9)}^{2}) + {(4 r + 9)}^{3} \cdot 1$

Paso 1.3.8

Multiplica ${(4 r + 9)}^{3}$ por $1$ .

$r (12 {(4 r + 9)}^{2}) + {(4 r + 9)}^{3}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Factoriza ${(4 r + 9)}^{2}$ de $r (12 {(4 r + 9)}^{2}) + {(4 r + 9)}^{3}$ .

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Paso 1.4.1.1

Factoriza ${(4 r + 9)}^{2}$ de $r (12 {(4 r + 9)}^{2})$ .

${(4 r + 9)}^{2} (r \cdot (12)) + {(4 r + 9)}^{3}$

Paso 1.4.1.2

Factoriza ${(4 r + 9)}^{2}$ de ${(4 r + 9)}^{3}$ .

${(4 r + 9)}^{2} (r \cdot (12)) + {(4 r + 9)}^{2} (4 r + 9)$

Paso 1.4.1.3

Factoriza ${(4 r + 9)}^{2}$ de ${(4 r + 9)}^{2} (r \cdot (12)) + {(4 r + 9)}^{2} (4 r + 9)$ .

${(4 r + 9)}^{2} (r \cdot (12) + 4 r + 9)$

Paso 1.4.2

Combina los términos.

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Paso 1.4.2.1

Mueve $12$ a la izquierda de $r$ .

${(4 r + 9)}^{2} (12 \cdot r + 4 r + 9)$

Paso 1.4.2.2

Suma $12 r$ y $4 r$ .

$f' (r) = {(4 r + 9)}^{2} (16 r + 9)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Reescribe ${(4 r + 9)}^{2}$ como $(4 r + 9) (4 r + 9)$ .

$\frac{d}{d r} [(4 r + 9) (4 r + 9) (16 r + 9)]$

Paso 2.2

Expande $(4 r + 9) (4 r + 9)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d r} [(4 r (4 r + 9) + 9 (4 r + 9)) (16 r + 9)]$

Paso 2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d r} [(4 r (4 r) + 4 r \cdot 9 + 9 (4 r + 9)) (16 r + 9)]$

Paso 2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d r} [(4 r (4 r) + 4 r \cdot 9 + 9 (4 r) + 9 \cdot 9) (16 r + 9)]$

Paso 2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d}{d r} [(4 \cdot 4 r \cdot r + 4 r \cdot 9 + 9 (4 r) + 9 \cdot 9) (16 r + 9)]$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $r$ por $r$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.1.2.1

Mueve $r$ .

$\frac{d}{d r} [(4 \cdot 4 (r \cdot r) + 4 r \cdot 9 + 9 (4 r) + 9 \cdot 9) (16 r + 9)]$

Paso 2.3.1.2.2

Multiplica $r$ por $r$ .

$\frac{d}{d r} [(4 \cdot 4 r^{2} + 4 r \cdot 9 + 9 (4 r) + 9 \cdot 9) (16 r + 9)]$

Paso 2.3.1.3

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{d}{d r} [(16 r^{2} + 4 r \cdot 9 + 9 (4 r) + 9 \cdot 9) (16 r + 9)]$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $9$ por $4$ .

$\frac{d}{d r} [(16 r^{2} + 36 r + 9 (4 r) + 9 \cdot 9) (16 r + 9)]$

Paso 2.3.1.5

Multiplica $4$ por $9$ .

$\frac{d}{d r} [(16 r^{2} + 36 r + 36 r + 9 \cdot 9) (16 r + 9)]$

Paso 2.3.1.6

Multiplica $9$ por $9$ .

$\frac{d}{d r} [(16 r^{2} + 36 r + 36 r + 81) (16 r + 9)]$

Paso 2.3.2

Suma $36 r$ y $36 r$ .

$\frac{d}{d r} [(16 r^{2} + 72 r + 81) (16 r + 9)]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ es $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ donde $f (r) = 16 r^{2} + 72 r + 81$ y $g (r) = 16 r + 9$ .

$(16 r^{2} + 72 r + 81) \frac{d}{d r} [16 r + 9] + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

Paso 2.5

Diferencia.

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Paso 2.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $16 r + 9$ con respecto a $r$ es $\frac{d}{d r} [16 r] + \frac{d}{d r} [9]$ .

$(16 r^{2} + 72 r + 81) (\frac{d}{d r} [16 r] + \frac{d}{d r} [9]) + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

Paso 2.5.2

Como $16$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $16 r$ con respecto a $r$ es $16 \frac{d}{d r} [r]$ .

$(16 r^{2} + 72 r + 81) (16 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [9]) + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

Paso 2.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(16 r^{2} + 72 r + 81) (16 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [9]) + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

Paso 2.5.4

Multiplica $16$ por $1$ .

$(16 r^{2} + 72 r + 81) (16 + \frac{d}{d r} [9]) + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

Paso 2.5.5

Como $9$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $9$ con respecto a $r$ es $0$ .

$(16 r^{2} + 72 r + 81) (16 + 0) + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

Paso 2.5.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.5.6.1

Suma $16$ y $0$ .

$(16 r^{2} + 72 r + 81) \cdot 16 + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

Paso 2.5.6.2

Mueve $16$ a la izquierda de $16 r^{2} + 72 r + 81$ .

$16 \cdot (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

Paso 2.5.7

Según la regla de la suma, la derivada de $16 r^{2} + 72 r + 81$ con respecto a $r$ es $\frac{d}{d r} [16 r^{2}] + \frac{d}{d r} [72 r] + \frac{d}{d r} [81]$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (\frac{d}{d r} [16 r^{2}] + \frac{d}{d r} [72 r] + \frac{d}{d r} [81])$

Paso 2.5.8

Como $16$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $16 r^{2}$ con respecto a $r$ es $16 \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (16 \frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [72 r] + \frac{d}{d r} [81])$

Paso 2.5.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (16 (2 r) + \frac{d}{d r} [72 r] + \frac{d}{d r} [81])$

Paso 2.5.10

Multiplica $2$ por $16$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (32 r + \frac{d}{d r} [72 r] + \frac{d}{d r} [81])$

Paso 2.5.11

Como $72$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $72 r$ con respecto a $r$ es $72 \frac{d}{d r} [r]$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (32 r + 72 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [81])$

Paso 2.5.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (32 r + 72 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [81])$

Paso 2.5.13

Multiplica $72$ por $1$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (32 r + 72 + \frac{d}{d r} [81])$

Paso 2.5.14

Como $81$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $81$ con respecto a $r$ es $0$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (32 r + 72 + 0)$

Paso 2.5.15

Suma $32 r + 72$ y $0$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (32 r + 72)$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$16 (16 r^{2}) + 16 (72 r) + 16 \cdot 81 + (16 r + 9) (32 r + 72)$

Paso 2.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$16 (16 r^{2}) + 16 (72 r) + 16 \cdot 81 + (16 r + 9) (32 r) + (16 r + 9) \cdot 72$

Paso 2.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$16 (16 r^{2}) + 16 (72 r) + 16 \cdot 81 + 16 r (32 r) + 9 (32 r) + (16 r + 9) \cdot 72$

Paso 2.6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$16 (16 r^{2}) + 16 (72 r) + 16 \cdot 81 + 16 r (32 r) + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Paso 2.6.5

Combina los términos.

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Paso 2.6.5.1

Multiplica $16$ por $16$ .

$256 r^{2} + 16 (72 r) + 16 \cdot 81 + 16 r (32 r) + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Paso 2.6.5.2

Multiplica $72$ por $16$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 16 \cdot 81 + 16 r (32 r) + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Paso 2.6.5.3

Multiplica $16$ por $81$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 16 r (32 r) + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Paso 2.6.5.4

Multiplica $32$ por $16$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 r \cdot r + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Paso 2.6.5.5

Eleva $r$ a la potencia de $1$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 (r^{1} r) + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Paso 2.6.5.6

Eleva $r$ a la potencia de $1$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 (r^{1} r^{1}) + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Paso 2.6.5.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 r^{1 + 1} + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Paso 2.6.5.8

Suma $1$ y $1$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 r^{2} + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Paso 2.6.5.9

Multiplica $32$ por $9$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 r^{2} + 288 r + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Paso 2.6.5.10

Multiplica $72$ por $16$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 r^{2} + 288 r + 1152 r + 9 \cdot 72$

Paso 2.6.5.11

Multiplica $9$ por $72$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 r^{2} + 288 r + 1152 r + 648$

Paso 2.6.5.12

Suma $288 r$ y $1152 r$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 r^{2} + 1440 r + 648$

Paso 2.6.5.13

Suma $256 r^{2}$ y $512 r^{2}$ .

$768 r^{2} + 1152 r + 1296 + 1440 r + 648$

Paso 2.6.5.14

Suma $1152 r$ y $1440 r$ .

$768 r^{2} + 2592 r + 1296 + 648$

Paso 2.6.5.15

Suma $1296$ y $648$ .

$f'' (r) = 768 r^{2} + 2592 r + 1944$

Paso 3

La segunda derivada de $f (r)$ con respecto a $r$ es $768 r^{2} + 2592 r + 1944$ .

$768 r^{2} + 2592 r + 1944$