Cálculo Ejemplos

$V (r) = k (16 r^{2} - r^{3})$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Como $k$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $k (16 r^{2} - r^{3})$ con respecto a $r$ es $k \frac{d}{d r} [16 r^{2} - r^{3}]$ .

$k \frac{d}{d r} [16 r^{2} - r^{3}]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $16 r^{2} - r^{3}$ con respecto a $r$ es $\frac{d}{d r} [16 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- r^{3}]$ .

$k (\frac{d}{d r} [16 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Paso 1.3

Como $16$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $16 r^{2}$ con respecto a $r$ es $16 \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$k (16 \frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$k (16 (2 r) + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Paso 1.5

Multiplica $2$ por $16$ .

$k (32 r + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Paso 1.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $- r^{3}$ con respecto a $r$ es $- \frac{d}{d r} [r^{3}]$ .

$k (32 r - \frac{d}{d r} [r^{3}])$

Paso 1.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$k (32 r - (3 r^{2}))$

Paso 1.8

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$k (32 r - 3 r^{2})$

Paso 1.9

Simplifica.

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Paso 1.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$k (32 r) + k (- 3 r^{2})$

Paso 1.9.2

Mueve $32$ a la izquierda de $k$ .

$32 k r + k (- 3 r^{2})$

Paso 1.9.3

Reordena los términos.

$f' (r) = 32 k r - 3 r^{2} k$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $32 k r - 3 r^{2} k$ con respecto a $r$ es $\frac{d}{d r} [32 k r] + \frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$ .

$\frac{d}{d r} [32 k r] + \frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d r} [32 k r]$ .

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Paso 2.2.1

Como $32 k$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $32 k r$ con respecto a $r$ es $32 k \frac{d}{d r} [r]$ .

$32 k \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$32 k \cdot 1 + \frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$

Paso 2.2.3

Multiplica $32$ por $1$ .

$32 k + \frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 3 k$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $- 3 r^{2} k$ con respecto a $r$ es $- 3 k \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$32 k - 3 k \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$32 k - 3 k (2 r)$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$32 k - 6 k r$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$f'' (r) = - 6 k r + 32 k$

Paso 3

La segunda derivada de $V (r)$ con respecto a $r$ es $- 6 k r + 32 k$ .

$- 6 k r + 32 k$