Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1 - 8 x}{8 - 6 x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1 - 8 x$ y $g (x) = 8 - 6 x$ .

$\frac{(8 - 6 x) \frac{d}{d x} [1 - 8 x] - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [8 - 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 8 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$\frac{(8 - 6 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 8 x]) - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [8 - 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Paso 1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(8 - 6 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 8 x]) - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [8 - 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Paso 1.2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$\frac{(8 - 6 x) \frac{d}{d x} [- 8 x] - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [8 - 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Paso 1.2.4

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(8 - 6 x) (- 8 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [8 - 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Paso 1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(8 - 6 x) (- 8 \cdot 1) - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [8 - 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Paso 1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.6.1

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$\frac{(8 - 6 x) \cdot - 8 - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [8 - 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Paso 1.2.6.2

Mueve $- 8$ a la izquierda de $8 - 6 x$ .

$\frac{- 8 \cdot (8 - 6 x) - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [8 - 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Paso 1.2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $8 - 6 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{- 8 (8 - 6 x) - (1 - 8 x) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 6 x])}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Paso 1.2.8

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{- 8 (8 - 6 x) - (1 - 8 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 6 x])}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Paso 1.2.9

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{- 8 (8 - 6 x) - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [- 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Paso 1.2.10

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{- 8 (8 - 6 x) - (1 - 8 x) (- 6 \frac{d}{d x} [x])}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Paso 1.2.11

Multiplica $- 6$ por $- 1$ .

$\frac{- 8 (8 - 6 x) + 6 (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Paso 1.2.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{- 8 (8 - 6 x) + 6 (1 - 8 x) \cdot 1}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Paso 1.2.13

Multiplica $6$ por $1$ .

$\frac{- 8 (8 - 6 x) + 6 (1 - 8 x)}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 8 \cdot 8 - 8 (- 6 x) + 6 (1 - 8 x)}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 8 \cdot 8 - 8 (- 6 x) + 6 \cdot 1 + 6 (- 8 x)}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Paso 1.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Multiplica $- 8$ por $8$ .

$\frac{- 64 - 8 (- 6 x) + 6 \cdot 1 + 6 (- 8 x)}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.2

Multiplica $- 6$ por $- 8$ .

$\frac{- 64 + 48 x + 6 \cdot 1 + 6 (- 8 x)}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$\frac{- 64 + 48 x + 6 + 6 (- 8 x)}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.4

Multiplica $- 8$ por $6$ .

$\frac{- 64 + 48 x + 6 - 48 x}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Paso 1.3.3.2

Combina los términos opuestos en $- 64 + 48 x + 6 - 48 x$ .

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Paso 1.3.3.2.1

Resta $48 x$ de $48 x$ .

$\frac{- 64 + 0 + 6}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Paso 1.3.3.2.2

Suma $- 64$ y $0$ .

$\frac{- 64 + 6}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Paso 1.3.3.3

Suma $- 64$ y $6$ .

$\frac{- 58}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Paso 1.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{58}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Paso 1.3.5

Simplifica el denominador.

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Paso 1.3.5.1

Factoriza $2$ de $8 - 6 x$ .

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Paso 1.3.5.1.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$- \frac{58}{{(2 (4) - 6 x)}^{2}}$

Paso 1.3.5.1.2

Factoriza $2$ de $- 6 x$ .

$- \frac{58}{{(2 (4) + 2 (- 3 x))}^{2}}$

Paso 1.3.5.1.3

Factoriza $2$ de $2 (4) + 2 (- 3 x)$ .

$- \frac{58}{{(2 (4 - 3 x))}^{2}}$

Paso 1.3.5.2

Aplica la regla del producto a $2 (4 - 3 x)$ .

$- \frac{58}{2^{2} {(4 - 3 x)}^{2}}$

Paso 1.3.5.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{58}{4 {(4 - 3 x)}^{2}}$

Paso 1.3.6

Cancela el factor común de $58$ y $4$ .

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Paso 1.3.6.1

Factoriza $2$ de $58$ .

$- \frac{2 (29)}{4 {(4 - 3 x)}^{2}}$

Paso 1.3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.6.2.1

Factoriza $2$ de $4 {(4 - 3 x)}^{2}$ .

$- \frac{2 (29)}{2 (2 {(4 - 3 x)}^{2})}$

Paso 1.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{2 \cdot 29}{2 (2 {(4 - 3 x)}^{2})}$

Paso 1.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = - \frac{29}{2 {(4 - 3 x)}^{2}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1.1

Como $- \frac{29}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{29}{2 {(4 - 3 x)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{29}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 - 3 x)}^{2}}]$ .

$- \frac{29}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 - 3 x)}^{2}}]$

Paso 2.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(4 - 3 x)}^{2}}$ como ${({(4 - 3 x)}^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{29}{2} \frac{d}{d x} [{({(4 - 3 x)}^{2})}^{- 1}]$

Paso 2.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(4 - 3 x)}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{29}{2} \frac{d}{d x} [{(4 - 3 x)}^{2 \cdot - 1}]$

Paso 2.1.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{29}{2} \frac{d}{d x} [{(4 - 3 x)}^{- 2}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 2}$ y $g (x) = 4 - 3 x$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 - 3 x$ .

$- \frac{29}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [4 - 3 x])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$- \frac{29}{2} (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [4 - 3 x])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 - 3 x$ .

$- \frac{29}{2} (- 2 {(4 - 3 x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [4 - 3 x])$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$2 (\frac{29}{2}) ({(4 - 3 x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [4 - 3 x])$

Paso 2.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{29}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 29}{2} ({(4 - 3 x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [4 - 3 x])$

Paso 2.3.2.2

Multiplica $2$ por $29$ .

$\frac{58}{2} ({(4 - 3 x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [4 - 3 x])$

Paso 2.3.2.3

Combina ${(4 - 3 x)}^{- 3}$ y $\frac{58}{2}$ .

$\frac{{(4 - 3 x)}^{- 3} \cdot 58}{2} \frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

Paso 2.3.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.2.4.1

Mueve $58$ a la izquierda de ${(4 - 3 x)}^{- 3}$ .

$\frac{58 \cdot {(4 - 3 x)}^{- 3}}{2} \frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

Paso 2.3.2.4.2

Mueve ${(4 - 3 x)}^{- 3}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{58}{2 {(4 - 3 x)}^{3}} \frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

Paso 2.3.2.5

Cancela el factor común de $58$ y $2$ .

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Paso 2.3.2.5.1

Factoriza $2$ de $58$ .

$\frac{2 \cdot 29}{2 {(4 - 3 x)}^{3}} \frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

Paso 2.3.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.5.2.1

Factoriza $2$ de $2 {(4 - 3 x)}^{3}$ .

$\frac{2 \cdot 29}{2 ({(4 - 3 x)}^{3})} \frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

Paso 2.3.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 29}{2 {(4 - 3 x)}^{3}} \frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

Paso 2.3.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{29}{{(4 - 3 x)}^{3}} \frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

Paso 2.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{29}{{(4 - 3 x)}^{3}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Paso 2.3.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{29}{{(4 - 3 x)}^{3}} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Paso 2.3.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{29}{{(4 - 3 x)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Paso 2.3.6

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{29}{{(4 - 3 x)}^{3}} (- 3 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.7

Combina fracciones.

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Paso 2.3.7.1

Combina $- 3$ y $\frac{29}{{(4 - 3 x)}^{3}}$ .

$\frac{- 3 \cdot 29}{{(4 - 3 x)}^{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.7.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.7.2.1

Multiplica $- 3$ por $29$ .

$\frac{- 87}{{(4 - 3 x)}^{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.7.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{87}{{(4 - 3 x)}^{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{87}{{(4 - 3 x)}^{3}} \cdot 1$

Paso 2.3.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{87}{{(4 - 3 x)}^{3}}$

Paso 3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{87}{{(4 - 3 x)}^{3}}$ .

$- \frac{87}{{(4 - 3 x)}^{3}}$