Cálculo Ejemplos

$f (x) = \tan^{-1} (2 x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan^{-1} (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\tan^{-1} (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\tan^{-1} (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{1}{1 + {(2 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.2.1

Aplica la regla del producto a $2 (x)$ .

$\frac{1}{1 + 2^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + 4 x^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.4

Combina $2$ y $\frac{1}{1 + 4 x^{2}}$ .

$\frac{2}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2}{1 + 4 x^{2}} \cdot 1$

Paso 1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.6.1

Multiplica $\frac{2}{1 + 4 x^{2}}$ por $1$ .

$\frac{2}{1 + 4 x^{2}}$

Paso 1.2.6.2

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{2}{4 x^{2} + 1}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{4 x^{2} + 1}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2} + 1}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2} + 1}]$

Paso 2.1.2

Reescribe $\frac{1}{4 x^{2} + 1}$ como ${(4 x^{2} + 1)}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} + 1)}^{- 1}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = 4 x^{2} + 1$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x^{2} + 1$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x^{2} + 1$ .

$2 (- {(4 x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1])$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 ({(4 x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1])$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 2 {(4 x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.3.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 {(4 x^{2} + 1)}^{- 2} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 2 {(4 x^{2} + 1)}^{- 2} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.3.5

Multiplica $2$ por $4$ .

$- 2 {(4 x^{2} + 1)}^{- 2} (8 x + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.3.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 2 {(4 x^{2} + 1)}^{- 2} (8 x + 0)$

Paso 2.3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.7.1

Suma $8 x$ y $0$ .

$- 2 {(4 x^{2} + 1)}^{- 2} (8 x)$

Paso 2.3.7.2

Multiplica $8$ por $- 2$ .

$- 16 {(4 x^{2} + 1)}^{- 2} x$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 16 \frac{1}{{(4 x^{2} + 1)}^{2}} x$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.4.2.1

Combina $- 16$ y $\frac{1}{{(4 x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 16}{{(4 x^{2} + 1)}^{2}} x$

Paso 2.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{16}{{(4 x^{2} + 1)}^{2}} x$

Paso 2.4.2.3

Combina $x$ y $\frac{16}{{(4 x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 16}{{(4 x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.4.2.4

Mueve $16$ a la izquierda de $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 x}{{(4 x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{16 x}{{(4 x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{16 x}{{(4 x^{2} + 1)}^{2}}$