Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(x^{3} - 1)}^{3}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x^{3} - 1$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3} - 1$ .

$3 {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 {(x^{3} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 {(x^{3} - 1)}^{2} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 1.2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 {(x^{3} - 1)}^{2} (3 x^{2} + 0)$

Paso 1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.4.1

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$3 {(x^{3} - 1)}^{2} (3 x^{2})$

Paso 1.2.4.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$9 {(x^{3} - 1)}^{2} x^{2}$

Paso 1.2.4.3

Reordena los factores de $9 {(x^{3} - 1)}^{2} x^{2}$ .

$f' (x) = 9 x^{2} {(x^{3} - 1)}^{2}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{2} {(x^{3} - 1)}^{2}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{2} {(x^{3} - 1)}^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{2} {(x^{3} - 1)}^{2}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = {(x^{3} - 1)}^{2}$ .

$9 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 1)}^{2}] + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{3} - 1$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3} - 1$ .

$9 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$9 (x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3} - 1$ .

$9 (x^{2} (2 (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.4

Diferencia.

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Paso 2.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$9 (x^{2} (2 (x^{3} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$9 (x^{2} (2 (x^{3} - 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.4.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$9 (x^{2} (2 (x^{3} - 1) (3 x^{2} + 0)) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.4.1

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$9 (x^{2} (2 (x^{3} - 1) (3 x^{2})) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.4.4.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$9 (x^{2} (6 (x^{3} - 1) x^{2}) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.5

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.5.1

Mueve $x^{2}$ .

$9 (x^{2} x^{2} (6 (x^{3} - 1)) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$9 (x^{2 + 2} (6 (x^{3} - 1)) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.5.3

Suma $2$ y $2$ .

$9 (x^{4} (6 (x^{3} - 1)) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$9 (x^{4} (6 (x^{3} - 1)) + {(x^{3} - 1)}^{2} (2 x))$

Paso 2.7

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x^{3} - 1)}^{2}$ .

$9 (x^{4} (6 (x^{3} - 1)) + 2 \cdot {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Paso 2.8

Simplifica.

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Paso 2.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$9 (x^{4} (6 x^{3} + 6 \cdot - 1) + 2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Paso 2.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$9 (x^{4} (6 x^{3}) + x^{4} (6 \cdot - 1) + 2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Paso 2.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$9 (x^{4} (6 x^{3})) + 9 (x^{4} (6 \cdot - 1)) + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Paso 2.8.4

Combina los términos.

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Paso 2.8.4.1

Multiplica $x^{4}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.8.4.1.1

Mueve $x^{3}$ .

$9 (x^{3} x^{4} \cdot 6) + 9 (x^{4} (6 \cdot - 1)) + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Paso 2.8.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$9 (x^{3 + 4} \cdot 6) + 9 (x^{4} (6 \cdot - 1)) + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Paso 2.8.4.1.3

Suma $3$ y $4$ .

$9 (x^{7} \cdot 6) + 9 (x^{4} (6 \cdot - 1)) + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Paso 2.8.4.2

Mueve $6$ a la izquierda de $x^{7}$ .

$9 (6 \cdot x^{7}) + 9 (x^{4} (6 \cdot - 1)) + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Paso 2.8.4.3

Multiplica $6$ por $9$ .

$54 x^{7} + 9 (x^{4} (6 \cdot - 1)) + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Paso 2.8.4.4

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$54 x^{7} + 9 (x^{4} \cdot - 6) + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Paso 2.8.4.5

Mueve $- 6$ a la izquierda de $x^{4}$ .

$54 x^{7} + 9 (- 6 \cdot x^{4}) + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Paso 2.8.4.6

Multiplica $- 6$ por $9$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Paso 2.8.4.7

Multiplica $2$ por $9$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 {(x^{3} - 1)}^{2} x$

Paso 2.8.5

Reordena los términos.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x {(x^{3} - 1)}^{2}$

Paso 2.8.6

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.6.1

Reescribe ${(x^{3} - 1)}^{2}$ como $(x^{3} - 1) (x^{3} - 1)$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x ((x^{3} - 1) (x^{3} - 1))$

Paso 2.8.6.2

Expande $(x^{3} - 1) (x^{3} - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.8.6.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{3} (x^{3} - 1) - 1 (x^{3} - 1))$

Paso 2.8.6.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{3} x^{3} + x^{3} \cdot - 1 - 1 (x^{3} - 1))$

Paso 2.8.6.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{3} x^{3} + x^{3} \cdot - 1 - 1 x^{3} - 1 \cdot - 1)$

Paso 2.8.6.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.8.6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.6.3.1.1

Multiplica $x^{3}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.8.6.3.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{3 + 3} + x^{3} \cdot - 1 - 1 x^{3} - 1 \cdot - 1)$

Paso 2.8.6.3.1.1.2

Suma $3$ y $3$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{6} + x^{3} \cdot - 1 - 1 x^{3} - 1 \cdot - 1)$

Paso 2.8.6.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{6} - 1 \cdot x^{3} - 1 x^{3} - 1 \cdot - 1)$

Paso 2.8.6.3.1.3

Reescribe $- 1 x^{3}$ como $- x^{3}$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{6} - x^{3} - 1 x^{3} - 1 \cdot - 1)$

Paso 2.8.6.3.1.4

Reescribe $- 1 x^{3}$ como $- x^{3}$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{6} - x^{3} - x^{3} - 1 \cdot - 1)$

Paso 2.8.6.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{6} - x^{3} - x^{3} + 1)$

Paso 2.8.6.3.2

Resta $x^{3}$ de $- x^{3}$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{6} - 2 x^{3} + 1)$

Paso 2.8.6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x \cdot x^{6} + 18 x (- 2 x^{3}) + 18 x \cdot 1$

Paso 2.8.6.5

Simplifica.

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Paso 2.8.6.5.1

Multiplica $x$ por $x^{6}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.8.6.5.1.1

Mueve $x^{6}$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 (x^{6} x) + 18 x (- 2 x^{3}) + 18 x \cdot 1$

Paso 2.8.6.5.1.2

Multiplica $x^{6}$ por $x$ .

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Paso 2.8.6.5.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 (x^{6} x^{1}) + 18 x (- 2 x^{3}) + 18 x \cdot 1$

Paso 2.8.6.5.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{6 + 1} + 18 x (- 2 x^{3}) + 18 x \cdot 1$

Paso 2.8.6.5.1.3

Suma $6$ y $1$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{7} + 18 x (- 2 x^{3}) + 18 x \cdot 1$

Paso 2.8.6.5.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{7} + 18 \cdot - 2 x \cdot x^{3} + 18 x \cdot 1$

Paso 2.8.6.5.3

Multiplica $18$ por $1$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{7} + 18 \cdot - 2 x \cdot x^{3} + 18 x$

Paso 2.8.6.6

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.6.6.1

Multiplica $x$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.8.6.6.1.1

Mueve $x^{3}$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{7} + 18 \cdot - 2 (x^{3} x) + 18 x$

Paso 2.8.6.6.1.2

Multiplica $x^{3}$ por $x$ .

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Paso 2.8.6.6.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{7} + 18 \cdot - 2 (x^{3} x^{1}) + 18 x$

Paso 2.8.6.6.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{7} + 18 \cdot - 2 x^{3 + 1} + 18 x$

Paso 2.8.6.6.1.3

Suma $3$ y $1$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{7} + 18 \cdot - 2 x^{4} + 18 x$

Paso 2.8.6.6.2

Multiplica $18$ por $- 2$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{7} - 36 x^{4} + 18 x$

Paso 2.8.7

Suma $54 x^{7}$ y $18 x^{7}$ .

$72 x^{7} - 54 x^{4} - 36 x^{4} + 18 x$

Paso 2.8.8

Resta $36 x^{4}$ de $- 54 x^{4}$ .

$f'' (x) = 72 x^{7} - 90 x^{4} + 18 x$

Paso 3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $72 x^{7} - 90 x^{4} + 18 x$ .

$72 x^{7} - 90 x^{4} + 18 x$