Cálculo Ejemplos

$x = e^{t} - 6$ , $y = e^{2 t}$

Paso 1

Establece la ecuación paramétrica de $x (t)$ para resolver la ecuación de $t$ .

$x = e^{t} - 6$

Paso 2

Reescribe la ecuación como $e^{t} - 6 = x$ .

$e^{t} - 6 = x$

Paso 3

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$e^{t} = x + 6$

Paso 4

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{t}) = \ln (x + 6)$

Paso 5

Expande el lado izquierdo.

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Paso 5.1

Expande $\ln (e^{t})$ ; para ello, mueve $t$ fuera del logaritmo.

$t \ln (e) = \ln (x + 6)$

Paso 5.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$t \cdot 1 = \ln (x + 6)$

Paso 5.3

Multiplica $t$ por $1$ .

$t = \ln (x + 6)$

Paso 6

Reemplaza $t$ en la ecuación con $y$ para obtener la ecuación en términos de $x$ .

$y = e^{2 (\ln (x + 6))}$

Paso 7

Simplifica $e^{2 (\ln (x + 6))}$ .

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Paso 7.1

Simplifica $2 (\ln (x + 6))$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$y = e^{\ln ({(x + 6)}^{2})}$

Paso 7.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$y = {(x + 6)}^{2}$

Paso 7.3

Reescribe ${(x + 6)}^{2}$ como $(x + 6) (x + 6)$ .

$y = (x + 6) (x + 6)$

Paso 7.4

Expande $(x + 6) (x + 6)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 7.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x (x + 6) + 6 (x + 6)$

Paso 7.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x \cdot x + x \cdot 6 + 6 (x + 6)$

Paso 7.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x \cdot x + x \cdot 6 + 6 x + 6 \cdot 6$

Paso 7.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 7.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.5.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = x^{2} + x \cdot 6 + 6 x + 6 \cdot 6$

Paso 7.5.1.2

Mueve $6$ a la izquierda de $x$ .

$y = x^{2} + 6 \cdot x + 6 x + 6 \cdot 6$

Paso 7.5.1.3

Multiplica $6$ por $6$ .

$y = x^{2} + 6 x + 6 x + 36$

Paso 7.5.2

Suma $6 x$ y $6 x$ .

$y = x^{2} + 12 x + 36$