Cálculo Ejemplos

$y = 3 \cos (x) + {(x + 2)}^{4}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 \cos (x) + {(x + 2)}^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Paso 1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$

Paso 1.2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$

Paso 1.2.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$ .

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = x + 2$ .

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Paso 1.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 2$ .

$- 3 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 1.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$- 3 \sin (x) + 4 u^{3} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 1.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 2$ .

$- 3 \sin (x) + 4 {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- 3 \sin (x) + 4 {(x + 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 3 \sin (x) + 4 {(x + 2)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 1.3.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 3 \sin (x) + 4 {(x + 2)}^{3} (1 + 0)$

Paso 1.3.5

Suma $1$ y $0$ .

$- 3 \sin (x) + 4 {(x + 2)}^{3} \cdot 1$

Paso 1.3.6

Multiplica $4$ por $1$ .

$- 3 \sin (x) + 4 {(x + 2)}^{3}$

Paso 1.4

Reordena los términos.

$f' (x) = 4 {(x + 2)}^{3} - 3 \sin (x)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 {(x + 2)}^{3} - 3 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 {(x + 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 {(x + 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 {(x + 2)}^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 {(x + 2)}^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x + 2$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 2$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 2$ .

$4 (3 {(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Paso 2.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$4 (3 {(x + 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 (3 {(x + 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Paso 2.2.5

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 (3 {(x + 2)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Paso 2.2.6

Suma $1$ y $0$ .

$4 (3 {(x + 2)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Paso 2.2.7

Multiplica $3$ por $1$ .

$4 (3 {(x + 2)}^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Paso 2.2.8

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 {(x + 2)}^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$12 {(x + 2)}^{2} - 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2.3.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 12 {(x + 2)}^{2} - 3 \cos (x)$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Reescribe ${(x + 2)}^{2}$ como $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{d}{d x} [12 ((x + 2) (x + 2)) - 3 \cos (x)]$

Paso 3.2

Expande $(x + 2) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [12 (x (x + 2) + 2 (x + 2)) - 3 \cos (x)]$

Paso 3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [12 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) - 3 \cos (x)]$

Paso 3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [12 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) - 3 \cos (x)]$

Paso 3.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) - 3 \cos (x)]$

Paso 3.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) - 3 \cos (x)]$

Paso 3.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) - 3 \cos (x)]$

Paso 3.3.2

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 4 x + 4) - 3 \cos (x)]$

Paso 3.4

Según la regla de la suma, la derivada de $12 (x^{2} + 4 x + 4) - 3 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Paso 3.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 4 x + 4)]$ .

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Paso 3.5.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 (x^{2} + 4 x + 4)$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Paso 3.5.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 4 x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$12 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Paso 3.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$12 (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Paso 3.5.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Paso 3.5.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$12 (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Paso 3.5.6

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$12 (2 x + 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Paso 3.5.7

Multiplica $4$ por $1$ .

$12 (2 x + 4 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Paso 3.5.8

Suma $2 x + 4$ y $0$ .

$12 (2 x + 4) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Paso 3.6

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$ .

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Paso 3.6.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$12 (2 x + 4) - 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 3.6.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$12 (2 x + 4) - 3 (- \sin (x))$

Paso 3.6.3

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$12 (2 x + 4) + 3 \sin (x)$

Paso 3.7

Simplifica.

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Paso 3.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$12 (2 x) + 12 \cdot 4 + 3 \sin (x)$

Paso 3.7.2

Combina los términos.

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Paso 3.7.2.1

Multiplica $2$ por $12$ .

$24 x + 12 \cdot 4 + 3 \sin (x)$

Paso 3.7.2.2

Multiplica $12$ por $4$ .

$f''' (x) = 24 x + 48 + 3 \sin (x)$