Cálculo Ejemplos

$y = \frac{\cos (x)}{e^{x}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Paso 1.2

Multiplica los exponentes en ${(e^{x})}^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Paso 1.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 1.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 1.4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) - \cos (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- e^{x} \sin (x) - \cos (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 1.5.1.2

Reordena los factores en $- e^{x} \sin (x) - \cos (x) e^{x}$ .

$\frac{- e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)}{e^{2 x}}$

Paso 1.5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $e^{x}$ de $- e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)$ .

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Paso 1.5.2.1.1

Factoriza $e^{x}$ de $- e^{x} \sin (x)$ .

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) - e^{x} \cos (x)}{e^{2 x}}$

Paso 1.5.2.1.2

Factoriza $e^{x}$ de $- e^{x} \cos (x)$ .

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) + e^{x} (- \cos (x))}{e^{2 x}}$

Paso 1.5.2.1.3

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} (- \sin (x)) + e^{x} (- \cos (x))$ .

$\frac{e^{x} (- \sin (x) - \cos (x))}{e^{2 x}}$

Paso 1.5.2.2

Factoriza $- 1$ de $- \sin (x) - \cos (x)$ .

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Paso 1.5.2.2.1

Factoriza $- 1$ de $- \sin (x)$ .

$\frac{e^{x} (- (\sin (x)) - \cos (x))}{e^{2 x}}$

Paso 1.5.2.2.2

Factoriza $- 1$ de $- \cos (x)$ .

$\frac{e^{x} (- (\sin (x)) - (\cos (x)))}{e^{2 x}}$

Paso 1.5.2.2.3

Factoriza $- 1$ de $- (\sin (x)) - (\cos (x))$ .

$\frac{e^{x} (- (\sin (x) + \cos (x)))}{e^{2 x}}$

$\frac{e^{x} \cdot - 1 (\sin (x) + \cos (x))}{e^{2 x}}$

Paso 1.5.2.3

Factoriza el negativo.

$\frac{- e^{x} (\sin (x) + \cos (x))}{e^{2 x}}$

Paso 1.5.3

Cancela el factor común de $e^{x}$ y $e^{2 x}$ .

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Paso 1.5.3.1

Factoriza $e^{2 x}$ de $- e^{x} (\sin (x) + \cos (x))$ .

$\frac{e^{2 x} (- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x)))}{e^{2 x}}$

Paso 1.5.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{e^{2 x} (- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x)))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Paso 1.5.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{e^{2 x} (- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x)))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Paso 1.5.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x))}{1}$

Paso 1.5.3.2.4

Divide $- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x))$ por $1$ .

$- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x))$

Paso 1.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = - e^{- x} \sin (x) - e^{- x} \cos (x)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- e^{- x} \sin (x) - e^{- x} \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- e^{- x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- e^{- x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- e^{- x} \sin (x)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e^{- x} \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [e^{- x} \sin (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [e^{- x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{- x}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$- (e^{- x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Paso 2.2.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 2.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- x$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Paso 2.2.4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Paso 2.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- x$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Paso 2.2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Paso 2.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Paso 2.2.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} \cdot - 1)) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Paso 2.2.8

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- 1 \cdot e^{- x})) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Paso 2.2.9

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e^{- x} \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (x)]$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (x)]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{- x}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Paso 2.3.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 2.3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- x$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]))$

Paso 2.3.4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]))$

Paso 2.3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- x$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

Paso 2.3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])))$

Paso 2.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1)))$

Paso 2.3.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} \cdot - 1))$

Paso 2.3.8

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (- 1 \cdot e^{- x}))$

Paso 2.3.9

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (- e^{- x}))$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- (e^{- x} \cos (x)) - (\sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (- e^{- x}))$

Paso 2.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- (e^{- x} \cos (x)) - (\sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x))) - (\cos (x) (- e^{- x}))$

Paso 2.4.3

Combina los términos.

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Paso 2.4.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- e^{- x} \cos (x) + 1 (\sin (x) (e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x))) - (\cos (x) (- e^{- x}))$

Paso 2.4.3.2

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$- e^{- x} \cos (x) + \sin (x) e^{- x} - (e^{- x} (- \sin (x))) - (\cos (x) (- e^{- x}))$

Paso 2.4.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- e^{- x} \cos (x) + \sin (x) e^{- x} + 1 (e^{- x} (\sin (x))) - (\cos (x) (- e^{- x}))$

Paso 2.4.3.4

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$- e^{- x} \cos (x) + \sin (x) e^{- x} + e^{- x} \sin (x) - (\cos (x) (- e^{- x}))$

Paso 2.4.3.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- e^{- x} \cos (x) + \sin (x) e^{- x} + e^{- x} \sin (x) + 1 (\cos (x) (e^{- x}))$

Paso 2.4.3.6

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$- e^{- x} \cos (x) + \sin (x) e^{- x} + e^{- x} \sin (x) + \cos (x) e^{- x}$

Paso 2.4.3.7

Suma $\sin (x) e^{- x}$ y $e^{- x} \sin (x)$ .

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Paso 2.4.3.7.1

Reordena $\sin (x)$ y $e^{- x}$ .

$- e^{- x} \cos (x) + e^{- x} \sin (x) + e^{- x} \sin (x) + \cos (x) e^{- x}$

Paso 2.4.3.7.2

Suma $e^{- x} \sin (x)$ y $e^{- x} \sin (x)$ .

$- e^{- x} \cos (x) + 2 e^{- x} \sin (x) + \cos (x) e^{- x}$

Paso 2.4.3.8

Suma $- e^{- x} \cos (x)$ y $\cos (x) e^{- x}$ .

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Paso 2.4.3.8.1

Reordena $\cos (x)$ y $e^{- x}$ .

$2 e^{- x} \sin (x) - e^{- x} \cos (x) + e^{- x} \cos (x)$

Paso 2.4.3.8.2

Suma $- e^{- x} \cos (x)$ y $e^{- x} \cos (x)$ .

$2 e^{- x} \sin (x) + 0$

Paso 2.4.3.9

Suma $2 e^{- x} \sin (x)$ y $0$ .

$f'' (x) = 2 e^{- x} \sin (x)$