Cálculo Ejemplos

$y = \frac{3 x - 5}{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 3 x - 5$ y $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [3 x - 5] - (3 x - 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (3 x - 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (3 x - 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) - (3 x - 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.2.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{x (3 + \frac{d}{d x} [- 5]) - (3 x - 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.2.5

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x (3 + 0) - (3 x - 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.6.1

Suma $3$ y $0$ .

$\frac{x \cdot 3 - (3 x - 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.2.6.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{3 \cdot x - (3 x - 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{3 x - (3 x - 5) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 1.2.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{3 x - (3 x - 5)}{x^{2}}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x - (3 x) - - 5}{x^{2}}$

Paso 1.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.2.1.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{3 x - 3 x - - 5}{x^{2}}$

Paso 1.3.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{3 x - 3 x + 5}{x^{2}}$

Paso 1.3.2.2

Resta $3 x$ de $3 x$ .

$\frac{0 + 5}{x^{2}}$

Paso 1.3.2.3

Suma $0$ y $5$ .

$f' (x) = \frac{5}{x^{2}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{5}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Paso 2.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Paso 2.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$5 (- 2 x^{- 3})$

Paso 2.4

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$- 10 x^{- 3}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 10 \frac{1}{x^{3}}$

Paso 2.5.2

Combina los términos.

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Paso 2.5.2.1

Combina $- 10$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 10}{x^{3}}$

Paso 2.5.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{10}{x^{3}}$