Cálculo Ejemplos

$y = \frac{\ln (2 x)}{x^{6}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \ln (2 x)$ y $g (x) = x^{6}$ .

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{{(x^{6})}^{2}}$

Paso 1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{6})}^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{6 \cdot 2}}$

Paso 1.2.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$\frac{x^{6} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Paso 1.3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{x^{6} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x]) - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Paso 1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\frac{x^{6} (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Paso 1.4

Diferencia.

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Paso 1.4.1

Combina $\frac{1}{2 x}$ y $x^{6}$ .

$\frac{\frac{x^{6}}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $x^{6}$ y $x$ .

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Paso 1.4.2.1

Factoriza $x$ de $x^{6}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{5}}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Paso 1.4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.2.2.1

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 2} \frac{d}{d x} [2 x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Paso 1.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 2} \frac{d}{d x} [2 x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Paso 1.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{x^{5}}{2} \frac{d}{d x} [2 x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Paso 1.4.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\frac{x^{5}}{2} (2 \frac{d}{d x} [x]) - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Paso 1.4.4

Simplifica los términos.

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Paso 1.4.4.1

Combina $2$ y $\frac{x^{5}}{2}$ .

$\frac{\frac{2 x^{5}}{2} \frac{d}{d x} [x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Paso 1.4.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.4.4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{2 x^{5}}{2} \frac{d}{d x} [x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Paso 1.4.4.2.2

Divide $x^{5}$ por $1$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Paso 1.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x^{5} \cdot 1 - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Paso 1.4.6

Multiplica $x^{5}$ por $1$ .

$\frac{x^{5} - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Paso 1.4.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$\frac{x^{5} - \ln (2 x) (6 x^{5})}{x^{12}}$

Paso 1.4.8

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.4.8.1

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$\frac{x^{5} - 6 \ln (2 x) x^{5}}{x^{12}}$

Paso 1.4.8.2

Factoriza $x^{5}$ de $x^{5} - 6 \ln (2 x) x^{5}$ .

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Paso 1.4.8.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{x^{5} \cdot 1 - 6 \ln (2 x) x^{5}}{x^{12}}$

Paso 1.4.8.2.2

Factoriza $x^{5}$ de $- 6 \ln (2 x) x^{5}$ .

$\frac{x^{5} \cdot 1 + x^{5} (- 6 \ln (2 x))}{x^{12}}$

Paso 1.4.8.2.3

Factoriza $x^{5}$ de $x^{5} \cdot 1 + x^{5} (- 6 \ln (2 x))$ .

$\frac{x^{5} (1 - 6 \ln (2 x))}{x^{12}}$

Paso 1.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.1

Factoriza $x^{5}$ de $x^{12}$ .

$\frac{x^{5} (1 - 6 \ln (2 x))}{x^{5} x^{7}}$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{5} (1 - 6 \ln (2 x))}{x^{5} x^{7}}$

Paso 1.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1 - 6 \ln (2 x)}{x^{7}}$

Paso 1.6

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.1

Simplifica $- 6 \ln (2 x)$ al mover $6$ dentro del algoritmo.

$\frac{1 - \ln ({(2 x)}^{6})}{x^{7}}$

Paso 1.6.2

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

$\frac{1 - \ln (2^{6} x^{6})}{x^{7}}$

Paso 1.6.3

Eleva $2$ a la potencia de $6$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (64 x^{6})}{x^{7}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [1 - \ln (64 x^{6})] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{{(x^{7})}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{7})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [1 - \ln (64 x^{6})] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{7 \cdot 2}}$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $7$ por $2$ .

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [1 - \ln (64 x^{6})] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Paso 2.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \ln (64 x^{6})$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (64 x^{6})]$ .

$\frac{x^{7} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (64 x^{6})]) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Paso 2.2.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{7} (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (64 x^{6})]) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Paso 2.2.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- \ln (64 x^{6})]$ .

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [- \ln (64 x^{6})] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Paso 2.2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \ln (64 x^{6})$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\ln (64 x^{6})]$ .

$\frac{x^{7} (- \frac{d}{d x} [\ln (64 x^{6})]) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 64 x^{6}$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $64 x^{6}$ .

$\frac{x^{7} (- (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [64 x^{6}])) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Paso 2.3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{x^{7} (- (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [64 x^{6}])) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $64 x^{6}$ .

$\frac{x^{7} (- (\frac{1}{64 x^{6}} \frac{d}{d x} [64 x^{6}])) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Paso 2.4

Diferencia.

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Paso 2.4.1

Combina $x^{7}$ y $\frac{1}{64 x^{6}}$ .

$\frac{- \frac{x^{7}}{64 x^{6}} \frac{d}{d x} [64 x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Paso 2.4.2

Cancela el factor común de $x^{7}$ y $x^{6}$ .

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Paso 2.4.2.1

Factoriza $x^{6}$ de $x^{7}$ .

$\frac{- \frac{x^{6} x}{64 x^{6}} \frac{d}{d x} [64 x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Paso 2.4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.2.2.1

Factoriza $x^{6}$ de $64 x^{6}$ .

$\frac{- \frac{x^{6} x}{x^{6} \cdot 64} \frac{d}{d x} [64 x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Paso 2.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- \frac{x^{6} x}{x^{6} \cdot 64} \frac{d}{d x} [64 x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Paso 2.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- \frac{x}{64} \frac{d}{d x} [64 x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Paso 2.4.3

Como $64$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $64 x^{6}$ con respecto a $x$ es $64 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{- \frac{x}{64} (64 \frac{d}{d x} [x^{6}]) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Paso 2.4.4

Simplifica los términos.

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Paso 2.4.4.1

Multiplica $64$ por $- 1$ .

$\frac{- 64 \frac{x}{64} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Paso 2.4.4.2

Combina $- 64$ y $\frac{x}{64}$ .

$\frac{\frac{- 64 x}{64} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Paso 2.4.4.3

Cancela el factor común de $- 64$ y $64$ .

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Paso 2.4.4.3.1

Factoriza $64$ de $- 64 x$ .

$\frac{\frac{64 (- x)}{64} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Paso 2.4.4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.4.3.2.1

Factoriza $64$ de $64$ .

$\frac{\frac{64 (- x)}{64 (1)} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Paso 2.4.4.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{64 (- x)}{64 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Paso 2.4.4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{- x}{1} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Paso 2.4.4.3.2.4

Divide $- x$ por $1$ .

$\frac{- x \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Paso 2.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$\frac{- x (6 x^{5}) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Paso 2.4.6

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$\frac{- 6 x \cdot x^{5} - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Paso 2.5

Multiplica $x$ por $x^{5}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.5.1

Mueve $x^{5}$ .

$\frac{- 6 (x^{5} x) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Paso 2.5.2

Multiplica $x^{5}$ por $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 6 (x^{5} x^{1}) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Paso 2.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 6 x^{5 + 1} - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Paso 2.5.3

Suma $5$ y $1$ .

$\frac{- 6 x^{6} - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$\frac{- 6 x^{6} - (1 - \ln (64 x^{6})) (7 x^{6})}{x^{14}}$

Paso 2.7

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.7.1

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$\frac{- 6 x^{6} - 7 (1 - \ln (64 x^{6})) x^{6}}{x^{14}}$

Paso 2.7.2

Factoriza $x^{6}$ de $- 6 x^{6} - 7 (1 - \ln (64 x^{6})) x^{6}$ .

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Paso 2.7.2.1

Factoriza $x^{6}$ de $- 6 x^{6}$ .

$\frac{x^{6} \cdot - 6 - 7 (1 - \ln (64 x^{6})) x^{6}}{x^{14}}$

Paso 2.7.2.2

Factoriza $x^{6}$ de $- 7 (1 - \ln (64 x^{6})) x^{6}$ .

$\frac{x^{6} \cdot - 6 + x^{6} (- 7 (1 - \ln (64 x^{6})))}{x^{14}}$

Paso 2.7.2.3

Factoriza $x^{6}$ de $x^{6} \cdot - 6 + x^{6} (- 7 (1 - \ln (64 x^{6})))$ .

$\frac{x^{6} (- 6 - 7 (1 - \ln (64 x^{6})))}{x^{14}}$

Paso 2.8

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.8.1

Factoriza $x^{6}$ de $x^{14}$ .

$\frac{x^{6} (- 6 - 7 (1 - \ln (64 x^{6})))}{x^{6} x^{8}}$

Paso 2.8.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{6} (- 6 - 7 (1 - \ln (64 x^{6})))}{x^{6} x^{8}}$

Paso 2.8.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 6 - 7 (1 - \ln (64 x^{6}))}{x^{8}}$

Paso 2.9

Simplifica.

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Paso 2.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 6 - 7 \cdot 1 - 7 (- \ln (64 x^{6}))}{x^{8}}$

Paso 2.9.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.9.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.9.2.1.1

Multiplica $- 7$ por $1$ .

$\frac{- 6 - 7 - 7 (- \ln (64 x^{6}))}{x^{8}}$

Paso 2.9.2.1.2

Multiplica $- 7 (- \ln (64 x^{6}))$ .

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Paso 2.9.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 7$ .

$\frac{- 6 - 7 + 7 \ln (64 x^{6})}{x^{8}}$

Paso 2.9.2.1.2.2

Simplifica $7 \ln (64 x^{6})$ al mover $7$ dentro del algoritmo.

$\frac{- 6 - 7 + \ln ({(64 x^{6})}^{7})}{x^{8}}$

Paso 2.9.2.1.3

Aplica la regla del producto a $64 x^{6}$ .

$\frac{- 6 - 7 + \ln (64^{7} {(x^{6})}^{7})}{x^{8}}$

Paso 2.9.2.1.4

Eleva $64$ a la potencia de $7$ .

$\frac{- 6 - 7 + \ln (4398046511104 {(x^{6})}^{7})}{x^{8}}$

Paso 2.9.2.1.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{6})}^{7}$ .

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Paso 2.9.2.1.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 6 - 7 + \ln (4398046511104 x^{6 \cdot 7})}{x^{8}}$

Paso 2.9.2.1.5.2

Multiplica $6$ por $7$ .

$\frac{- 6 - 7 + \ln (4398046511104 x^{42})}{x^{8}}$

Paso 2.9.2.2

Resta $7$ de $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{- 13 + \ln (4398046511104 x^{42})}{x^{8}}$