Cálculo Ejemplos

$y = x^{\frac{5}{2}} e^{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{\frac{5}{2}}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$x^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{5}{2}$ .

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

Paso 1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.7

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

Paso 1.7.2

Resta $2$ de $5$ .

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

Paso 1.8

Combina $\frac{5}{2}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + e^{x} \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 1.9

Combina $e^{x}$ y $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Paso 1.10

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.10.1

Reordena los términos.

$e^{x} x^{\frac{5}{2}} + \frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Paso 1.10.2

Mueve $5$ a la izquierda de $e^{x}$ .

$f' (x) = e^{x} x^{\frac{5}{2}} + \frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} x^{\frac{5}{2}} + \frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{5}{2}}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{\frac{5}{2}}$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + x^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{5}{2}$ .

$e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + x^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

Paso 2.2.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

Paso 2.2.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

Paso 2.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

Paso 2.2.7

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

Paso 2.2.7.2

Resta $2$ de $5$ .

$e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

Paso 2.2.8

Combina $\frac{5}{2}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{x} \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

Paso 2.2.9

Combina $e^{x}$ y $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Como $\frac{5}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.3.2

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

Paso 2.3.5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

Paso 2.3.6

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

Paso 2.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

Paso 2.3.8

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

Paso 2.3.8.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

Paso 2.3.9

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

Paso 2.3.10

Combina $e^{x}$ y $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (\frac{e^{x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

Paso 2.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} \cdot \frac{e^{x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{5}{2} (x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1

Multiplica $\frac{5}{2}$ por $\frac{e^{x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5 (e^{x} (3 x^{\frac{1}{2}}))}{2 \cdot 2} + \frac{5}{2} (x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

Paso 2.4.2.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 (e^{x} (x^{\frac{1}{2}}))}{2 \cdot 2} + \frac{5}{2} (x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

Paso 2.4.2.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 (e^{x} (x^{\frac{1}{2}}))}{4} + \frac{5}{2} (x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

Paso 2.4.2.4

Combina $x^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{5}{2}$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{2} e^{x}$

Paso 2.4.2.5

Combina $\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{2}$ y $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 5 e^{x}}{2}$

Paso 2.4.2.6

Mueve $5$ a la izquierda de $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 \cdot x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{2}$

Paso 2.4.2.7

Suma $\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$ y $\frac{5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.7.1

Mueve $e^{x}$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

Paso 2.4.2.7.2

Suma $\frac{5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{2}$ y $\frac{5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{2}$ .

$2 \frac{5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

Paso 2.4.2.8

Combina $2$ y $\frac{5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}} e^{x})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

Paso 2.4.2.9

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{10 (x^{\frac{3}{2}} e^{x})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

Paso 2.4.2.10

Factoriza $2$ de $10 x^{\frac{3}{2}} e^{x}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}} e^{x})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

Paso 2.4.2.11

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.11.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}} e^{x})}{2 (1)} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

Paso 2.4.2.11.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}} e^{x})}{2 \cdot 1} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

Paso 2.4.2.11.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{1} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

Paso 2.4.2.11.4

Divide $5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}$ por $1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} e^{x} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

Paso 2.4.3

Reordena los términos.

$f'' (x) = 5 e^{x} x^{\frac{3}{2}} + e^{x} x^{\frac{5}{2}} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$