Cálculo Ejemplos

$y = θ^{2} (8 θ + 4)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ es $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ donde $f (θ) = θ^{2}$ y $g (θ) = 8 θ + 4$ .

$θ^{2} \frac{d}{d θ} [8 θ + 4] + (8 θ + 4) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 θ + 4$ con respecto a $θ$ es $\frac{d}{d θ} [8 θ] + \frac{d}{d θ} [4]$ .

$θ^{2} (\frac{d}{d θ} [8 θ] + \frac{d}{d θ} [4]) + (8 θ + 4) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

Paso 1.2.2

Como $8$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $8 θ$ con respecto a $θ$ es $8 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$θ^{2} (8 \frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [4]) + (8 θ + 4) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ es $n θ^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$θ^{2} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d θ} [4]) + (8 θ + 4) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

Paso 1.2.4

Multiplica $8$ por $1$ .

$θ^{2} (8 + \frac{d}{d θ} [4]) + (8 θ + 4) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

Paso 1.2.5

Como $4$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $4$ con respecto a $θ$ es $0$ .

$θ^{2} (8 + 0) + (8 θ + 4) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

Paso 1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.6.1

Suma $8$ y $0$ .

$θ^{2} \cdot 8 + (8 θ + 4) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

Paso 1.2.6.2

Mueve $8$ a la izquierda de $θ^{2}$ .

$8 \cdot θ^{2} + (8 θ + 4) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

Paso 1.2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ es $n θ^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$8 θ^{2} + (8 θ + 4) (2 θ)$

Paso 1.2.8

Mueve $2$ a la izquierda de $8 θ + 4$ .

$8 θ^{2} + 2 \cdot (8 θ + 4) θ$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$8 θ^{2} + (2 (8 θ) + 2 \cdot 4) θ$

Paso 1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$8 θ^{2} + 2 (8 θ) θ + 2 \cdot 4 θ$

Paso 1.3.3

Combina los términos.

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Paso 1.3.3.1

Multiplica $8$ por $2$ .

$8 θ^{2} + 16 θ \cdot θ + 2 \cdot 4 θ$

Paso 1.3.3.2

Eleva $θ$ a la potencia de $1$ .

$8 θ^{2} + 16 (θ^{1} θ) + 2 \cdot 4 θ$

Paso 1.3.3.3

Eleva $θ$ a la potencia de $1$ .

$8 θ^{2} + 16 (θ^{1} θ^{1}) + 2 \cdot 4 θ$

Paso 1.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$8 θ^{2} + 16 θ^{1 + 1} + 2 \cdot 4 θ$

Paso 1.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$8 θ^{2} + 16 θ^{2} + 2 \cdot 4 θ$

Paso 1.3.3.6

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 θ^{2} + 16 θ^{2} + 8 θ$

Paso 1.3.3.7

Suma $8 θ^{2}$ y $16 θ^{2}$ .

$f' (θ) = 24 θ^{2} + 8 θ$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $24 θ^{2} + 8 θ$ con respecto a $θ$ es $\frac{d}{d θ} [24 θ^{2}] + \frac{d}{d θ} [8 θ]$ .

$\frac{d}{d θ} [24 θ^{2}] + \frac{d}{d θ} [8 θ]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d θ} [24 θ^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $24$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $24 θ^{2}$ con respecto a $θ$ es $24 \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$ .

$24 \frac{d}{d θ} [θ^{2}] + \frac{d}{d θ} [8 θ]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ es $n θ^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$24 (2 θ) + \frac{d}{d θ} [8 θ]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $24$ .

$48 θ + \frac{d}{d θ} [8 θ]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d θ} [8 θ]$ .

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Paso 2.3.1

Como $8$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $8 θ$ con respecto a $θ$ es $8 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$48 θ + 8 \frac{d}{d θ} [θ]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ es $n θ^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$48 θ + 8 \cdot 1$

Paso 2.3.3

Multiplica $8$ por $1$ .

$f'' (θ) = 48 θ + 8$