Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{4} \tan (2 x + 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{4} \cdot \tan (2 x + 1)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\tan (2 x + 1)]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\tan (2 x + 1)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = 2 x + 1$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x + 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Paso 1.2.2

La derivada de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\sec^{2} (u)$ .

$\frac{1}{4} (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x + 1$ .

$\frac{1}{4} (\sec^{2} (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Combina $\sec^{2} (2 x + 1)$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} (2 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.3.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} (2 + 0)$

Paso 1.3.7

Simplifica los términos.

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Paso 1.3.7.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} \cdot 2$

Paso 1.3.7.2

Combina $\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4}$ y $2$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1) \cdot 2}{4}$

Paso 1.3.7.3

Mueve $2$ a la izquierda de $\sec^{2} (2 x + 1)$ .

$\frac{2 \cdot \sec^{2} (2 x + 1)}{4}$

Paso 1.3.7.4

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 1.3.7.4.1

Factoriza $2$ de $2 \sec^{2} (2 x + 1)$ .

$\frac{2 (\sec^{2} (2 x + 1))}{4}$

Paso 1.3.7.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.7.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \sec^{2} (2 x + 1)}{2 \cdot 2}$

Paso 1.3.7.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sec^{2} (2 x + 1)}{2 \cdot 2}$

Paso 1.3.7.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{2}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1)]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sec (2 x + 1)$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sec (2 x + 1)$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sec (2 x + 1)$ .

$\frac{1}{2} (2 \sec (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)])$

Paso 2.3

Simplifica los términos.

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Paso 2.3.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} (\sec (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)])$

Paso 2.3.2

Combina $\sec (2 x + 1)$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sec (2 x + 1) \cdot 2}{2} \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)]$

Paso 2.3.3

Mueve $2$ a la izquierda de $\sec (2 x + 1)$ .

$\frac{2 \cdot \sec (2 x + 1)}{2} \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)]$

Paso 2.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sec (2 x + 1)}{2} \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)]$

Paso 2.3.4.2

Divide $\sec (2 x + 1)$ por $1$ .

$\sec (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = 2 x + 1$ .

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Paso 2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x + 1$ .

$\sec (2 x + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Paso 2.4.2

La derivada de $\sec (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\sec (2 x + 1) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Paso 2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x + 1$ .

$\sec (2 x + 1) (\sec (2 x + 1) \tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Paso 2.5

Eleva $\sec (2 x + 1)$ a la potencia de $1$ .

$\sec^{1} (2 x + 1) \sec (2 x + 1) (\tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Paso 2.6

Eleva $\sec (2 x + 1)$ a la potencia de $1$ .

$\sec^{1} (2 x + 1) \sec^{1} (2 x + 1) (\tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Paso 2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\sec (2 x + 1)}^{1 + 1} (\tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Paso 2.8

Suma $1$ y $1$ .

$\sec^{2} (2 x + 1) (\tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Paso 2.9

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.10

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.12

Multiplica $2$ por $1$ .

$\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.13

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 + 0)$

Paso 2.14

Simplifica la expresión.

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Paso 2.14.1

Suma $2$ y $0$ .

$\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) \cdot 2$

Paso 2.14.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1)$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1)$