Cálculo Ejemplos

$y = {(x^{2} + 7 x)}^{40}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{40}$ y $g (x) = x^{2} + 7 x$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 7 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{40}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 7 x]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 40$ .

$40 u^{39} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7 x]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 7 x$ .

$40 {(x^{2} + 7 x)}^{39} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7 x]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 7 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$40 {(x^{2} + 7 x)}^{39} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x])$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$40 {(x^{2} + 7 x)}^{39} (2 x + \frac{d}{d x} [7 x])$

Paso 1.2.3

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$40 {(x^{2} + 7 x)}^{39} (2 x + 7 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$40 {(x^{2} + 7 x)}^{39} (2 x + 7 \cdot 1)$

Paso 1.2.5

Multiplica $7$ por $1$ .

$f' (x) = 40 {(x^{2} + 7 x)}^{39} (2 x + 7)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $40$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $40 {(x^{2} + 7 x)}^{39} (2 x + 7)$ con respecto a $x$ es $40 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7 x)}^{39} (2 x + 7)]$ .

$40 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7 x)}^{39} (2 x + 7)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = {(x^{2} + 7 x)}^{39}$ y $g (x) = 2 x + 7$ .

$40 ({(x^{2} + 7 x)}^{39} \frac{d}{d x} [2 x + 7] + (2 x + 7) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7 x)}^{39}])$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$40 ({(x^{2} + 7 x)}^{39} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [7]) + (2 x + 7) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7 x)}^{39}])$

Paso 2.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$40 ({(x^{2} + 7 x)}^{39} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]) + (2 x + 7) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7 x)}^{39}])$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$40 ({(x^{2} + 7 x)}^{39} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]) + (2 x + 7) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7 x)}^{39}])$

Paso 2.3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$40 ({(x^{2} + 7 x)}^{39} (2 + \frac{d}{d x} [7]) + (2 x + 7) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7 x)}^{39}])$

Paso 2.3.5

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$40 ({(x^{2} + 7 x)}^{39} (2 + 0) + (2 x + 7) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7 x)}^{39}])$

Paso 2.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.6.1

Suma $2$ y $0$ .

$40 ({(x^{2} + 7 x)}^{39} \cdot 2 + (2 x + 7) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7 x)}^{39}])$

Paso 2.3.6.2

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x^{2} + 7 x)}^{39}$ .

$40 (2 \cdot {(x^{2} + 7 x)}^{39} + (2 x + 7) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7 x)}^{39}])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{39}$ y $g (x) = x^{2} + 7 x$ .

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Paso 2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 7 x$ .

$40 (2 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + (2 x + 7) (\frac{d}{d u} [u^{39}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 7 x]))$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 39$ .

$40 (2 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + (2 x + 7) (39 u^{38} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7 x]))$

Paso 2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 7 x$ .

$40 (2 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + (2 x + 7) (39 {(x^{2} + 7 x)}^{38} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7 x]))$

Paso 2.5

Diferencia.

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Paso 2.5.1

Mueve $39$ a la izquierda de $2 x + 7$ .

$40 (2 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + 39 \cdot (2 x + 7) {(x^{2} + 7 x)}^{38} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7 x])$

Paso 2.5.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 7 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$40 (2 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + 39 (2 x + 7) {(x^{2} + 7 x)}^{38} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]))$

Paso 2.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$40 (2 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + 39 (2 x + 7) {(x^{2} + 7 x)}^{38} (2 x + \frac{d}{d x} [7 x]))$

Paso 2.5.4

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$40 (2 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + 39 (2 x + 7) {(x^{2} + 7 x)}^{38} (2 x + 7 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 2.5.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$40 (2 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + 39 (2 x + 7) {(x^{2} + 7 x)}^{38} (2 x + 7 \cdot 1))$

Paso 2.5.6

Multiplica $7$ por $1$ .

$40 (2 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + 39 (2 x + 7) {(x^{2} + 7 x)}^{38} (2 x + 7))$

Paso 2.6

Eleva $2 x + 7$ a la potencia de $1$ .

$40 (2 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + 39 ({(2 x + 7)}^{1} (2 x + 7)) {(x^{2} + 7 x)}^{38})$

Paso 2.7

Eleva $2 x + 7$ a la potencia de $1$ .

$40 (2 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + 39 ({(2 x + 7)}^{1} {(2 x + 7)}^{1}) {(x^{2} + 7 x)}^{38})$

Paso 2.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$40 (2 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + 39 {(2 x + 7)}^{1 + 1} {(x^{2} + 7 x)}^{38})$

Paso 2.9

Suma $1$ y $1$ .

$40 (2 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + 39 {(2 x + 7)}^{2} {(x^{2} + 7 x)}^{38})$

Paso 2.10

Simplifica.

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Paso 2.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$40 (2 {(x^{2} + 7 x)}^{39}) + 40 (39 {(2 x + 7)}^{2} {(x^{2} + 7 x)}^{38})$

Paso 2.10.2

Multiplica $2$ por $40$ .

$80 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + 40 (39 {(2 x + 7)}^{2} {(x^{2} + 7 x)}^{38})$

Paso 2.10.3

Multiplica $39$ por $40$ .

$80 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + 1560 ({(2 x + 7)}^{2} {(x^{2} + 7 x)}^{38})$

Paso 2.10.4

Factoriza $40 {(x^{2} + 7 x)}^{38}$ de $80 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + 1560 {(2 x + 7)}^{2} {(x^{2} + 7 x)}^{38}$ .

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Paso 2.10.4.1

Factoriza $40 {(x^{2} + 7 x)}^{38}$ de $80 {(x^{2} + 7 x)}^{39}$ .

$40 {(x^{2} + 7 x)}^{38} (2 (x^{2} + 7 x)) + 1560 {(2 x + 7)}^{2} {(x^{2} + 7 x)}^{38}$

Paso 2.10.4.2

Factoriza $40 {(x^{2} + 7 x)}^{38}$ de $1560 {(2 x + 7)}^{2} {(x^{2} + 7 x)}^{38}$ .

$40 {(x^{2} + 7 x)}^{38} (2 (x^{2} + 7 x)) + 40 {(x^{2} + 7 x)}^{38} (39 {(2 x + 7)}^{2})$

Paso 2.10.4.3

Factoriza $40 {(x^{2} + 7 x)}^{38}$ de $40 {(x^{2} + 7 x)}^{38} (2 (x^{2} + 7 x)) + 40 {(x^{2} + 7 x)}^{38} (39 {(2 x + 7)}^{2})$ .

$f'' (x) = 40 {(x^{2} + 7 x)}^{38} (2 (x^{2} + 7 x) + 39 {(2 x + 7)}^{2})$