Cálculo Ejemplos

$y = {(\sqrt{x} - 7)}^{- 3}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 3}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 3}$ y $g (x) = x^{\frac{1}{2}} - 7$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{\frac{1}{2}} - 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 7]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 7]$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{2}} - 7$ .

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 7]$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{\frac{1}{2}} - 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 7])$

Paso 1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])$

Paso 1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])$

Paso 1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])$

Paso 1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])$

Paso 1.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])$

Paso 1.8

Combina fracciones.

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Paso 1.8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])$

Paso 1.8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 7])$

Paso 1.8.3

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 7])$

Paso 1.9

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Paso 1.10

Combina fracciones.

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Paso 1.10.1

Suma $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.10.2

Combina $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ y $- 3$ .

$\frac{- 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4}$

Paso 1.10.3

Combina $\frac{- 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ y ${(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4}$ .

$\frac{- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.10.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.10.4.1

Mueve ${(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}$

Paso 1.10.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1.1

Como $- \frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}]$ .

$- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}]$

Paso 2.1.2

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{- 1}$ .

$- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{- 1}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- \frac{3}{2} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}$ .

$- \frac{3}{2} (- {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}])$

Paso 2.3

Combina fracciones.

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Paso 2.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{3}{2}) ({(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}])$

Paso 2.3.2

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$\frac{3}{2} ({(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}])$

Paso 2.3.3

Combina ${(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{- 2}$ y $\frac{3}{2}$ .

$\frac{{(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{- 2} \cdot 3}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}]$

Paso 2.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.4.1

Mueve $3$ a la izquierda de ${(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{- 2}$ .

$\frac{3 \cdot {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{- 2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}]$

Paso 2.3.4.2

Mueve ${(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}] + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = x^{\frac{1}{2}} - 7$ .

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Paso 2.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{\frac{1}{2}} - 7$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 7]) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 7]) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{\frac{1}{2}} - 7$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 7]) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.6

Diferencia.

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Paso 2.6.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{\frac{1}{2}} - 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.10

Simplifica el numerador.

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Paso 2.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.11

Combina fracciones.

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Paso 2.11.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.11.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.11.3

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.12

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.13

Simplifica los términos.

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Paso 2.13.1

Suma $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.13.2

Combina $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ y $4$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{4}{2 x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.13.3

Combina $\frac{4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ y ${(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} \frac{4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.13.4

Factoriza $2$ de $4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} \frac{2 (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.14

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.14.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} \frac{2 (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3})}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.14.2

Cancela el factor común.

Paso 2.14.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} \frac{2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}}{x^{\frac{1}{2}}} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.15

Simplifica los términos.

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Paso 2.15.1

Combina $x^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3})}{x^{\frac{1}{2}}} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.15.2

Cancela el factor común.

Paso 2.15.3

Divide $2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ por $1$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.16

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Paso 2.17

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Paso 2.18

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 2.19

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 2.20

Simplifica el numerador.

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Paso 2.20.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Paso 2.20.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Paso 2.21

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Paso 2.22

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Paso 2.23

Combina ${(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + \frac{{(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Paso 2.24

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + \frac{{(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 2.25

Para escribir $2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 2.26

Combina $2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ y $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (\frac{2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 2.27

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} \cdot \frac{2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (2 x^{\frac{1}{2}}) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.28

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} \cdot \frac{4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} x^{\frac{1}{2}} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.29

Multiplica $\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}}$ por $\frac{4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} x^{\frac{1}{2}} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} x^{\frac{1}{2}} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2} (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Paso 2.30

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{3 (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} x^{\frac{1}{2}} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}{4 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.31

Simplifica.

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Paso 2.31.1

Aplica la regla del producto a $x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}$ .

$\frac{3 (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} x^{\frac{1}{2}} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}{4 ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.31.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} x^{\frac{1}{2}}) + 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}{4 ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.31.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.31.3.1

Factoriza $3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ de $3 \cdot 4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} x^{\frac{1}{2}} + 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}$ .

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Paso 2.31.3.1.1

Mueve ${(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ .

$\frac{3 \cdot 4 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}{4 ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.31.3.1.2

Factoriza $3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ de $3 \cdot 4 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (4 x^{\frac{1}{2}}) + 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}{4 ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.31.3.1.3

Factoriza $3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ de $3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (4 x^{\frac{1}{2}}) + 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.31.3.1.4

Factoriza $3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ de $3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (4 x^{\frac{1}{2}}) + 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (x^{\frac{1}{2}} - 7)$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (4 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.31.3.2

Suma $4 x^{\frac{1}{2}}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.31.4

Combina los términos.

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Paso 2.31.4.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.31.4.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} {({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.31.4.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.31.4.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} {({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.31.4.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 (x^{1} {({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.31.4.2

Simplifica.

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 (x {({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.31.4.3

Multiplica los exponentes en ${({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}$ .

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Paso 2.31.4.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 (x {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4 \cdot 2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.31.4.3.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 (x {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{8}) x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.31.4.4

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.31.4.4.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 (x^{\frac{1}{2}} x) {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{8}}$

Paso 2.31.4.4.2

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Paso 2.31.4.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{8}}$

Paso 2.31.4.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 x^{\frac{1}{2} + 1} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{8}}$

Paso 2.31.4.4.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{8}}$

Paso 2.31.4.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 x^{\frac{1 + 2}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{8}}$

Paso 2.31.4.4.5

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{8}}$

Paso 2.31.4.5

Factoriza ${(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ de $3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)$ .

$\frac{{(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (3 (5 x^{\frac{1}{2}} - 7))}{4 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{8}}$

Paso 2.31.4.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.31.4.6.1

Factoriza ${(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ de $4 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{8}$ .

$\frac{{(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (3 (5 x^{\frac{1}{2}} - 7))}{{(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (4 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{5})}$

Paso 2.31.4.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{{(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (3 (5 x^{\frac{1}{2}} - 7))}{{(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (4 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{5})}$

Paso 2.31.4.6.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{3 (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{5}}$