Cálculo Ejemplos

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \sin (θ)$

Paso 1

Usa la definición de tangente para obtener los lados conocidos del triángulo rectángulo del círculo unitario. El cuadrante determina el signo en cada uno de los valores.

$\tan (θ) = \frac{opuesto}{adyacente}$

Paso 2

Obtén la hipotenusa del triángulo del círculo unitario. Dado que se conocen los lados opuesto y adyacente, usa el teorema de Pitágoras para obtener el lado restante.

$Hipotenusa = \sqrt{{opuesto}^{2} + {adyacente}^{2}}$

Paso 3

Reemplaza los valores conocidos en la ecuación.

$Hipotenusa = \sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} + {(3)}^{2}}$

Paso 4

Simplifica dentro del radical.

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Paso 4.1

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{3}$ .

Hipotenusa $= \sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(3)}^{2}}$

Paso 4.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

Hipotenusa $= \sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} + {(3)}^{2}}$

Paso 4.3

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 4.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

Hipotenusa $= \sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(3)}^{2}}$

Paso 4.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Hipotenusa $= \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(3)}^{2}}$

Paso 4.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

Hipotenusa $= \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(3)}^{2}}$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.4.1

Cancela el factor común.

Hipotenusa $= \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(3)}^{2}}$

Paso 4.3.4.2

Reescribe la expresión.

Hipotenusa $= \sqrt{4 \cdot 3 + {(3)}^{2}}$

Paso 4.3.5

Evalúa el exponente.

Hipotenusa $= \sqrt{4 \cdot 3 + {(3)}^{2}}$

Paso 4.4

Multiplica $4$ por $3$ .

Hipotenusa $= \sqrt{12 + {(3)}^{2}}$

Paso 4.5

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

Hipotenusa $= \sqrt{12 + 9}$

Paso 4.6

Suma $12$ y $9$ .

Hipotenusa $= \sqrt{21}$

Paso 5

Obtén el valor del seno.

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Paso 5.1

Usa la definición de seno para obtener el valor de $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Paso 5.2

Sustituye los valores conocidos.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{21}}$

Paso 5.3

Simplifica el valor de $\sin (θ)$ .

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Paso 5.3.1

Combina $\sqrt{3}$ y $\sqrt{21}$ en un solo radical.

$\sin (θ) = 2 \sqrt{\frac{3}{21}}$

Paso 5.3.2

Cancela el factor común de $3$ y $21$ .

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Paso 5.3.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\sin (θ) = 2 \sqrt{\frac{3 (1)}{21}}$

Paso 5.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.2.1

Factoriza $3$ de $21$ .

$\sin (θ) = 2 \sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 7}}$

Paso 5.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\sin (θ) = 2 \sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 7}}$

Paso 5.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\sin (θ) = 2 \sqrt{\frac{1}{7}}$

Paso 5.3.3

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{7}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}}$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}})$

Paso 5.3.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{1}{\sqrt{7}})$

Paso 5.3.5

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{1}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})$

Paso 5.3.6

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.3.6.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}})$

Paso 5.3.6.2

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}})$

Paso 5.3.6.3

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}})$

Paso 5.3.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}})$

Paso 5.3.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}})$

Paso 5.3.6.6

Reescribe ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Paso 5.3.6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 5.3.6.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 5.3.6.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}})$

Paso 5.3.6.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.6.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}})$

Paso 5.3.6.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{7})$

Paso 5.3.6.6.5

Evalúa el exponente.

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{7})$

Paso 5.3.7

Combina $2$ y $\frac{\sqrt{7}}{7}$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$

Paso 6

Obtén el valor del coseno.

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Paso 6.1

Usa la definición de coseno para obtener el valor de $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos.

$\cos (θ) = \frac{3}{\sqrt{21}}$

Paso 6.3

Simplifica el valor de $\cos (θ)$ .

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Paso 6.3.1

Multiplica $\frac{3}{\sqrt{21}}$ por $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3}{\sqrt{21}} \cdot \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$

Paso 6.3.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.3.2.1

Multiplica $\frac{3}{\sqrt{21}}$ por $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

Paso 6.3.2.2

Eleva $\sqrt{21}$ a la potencia de $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

Paso 6.3.2.3

Eleva $\sqrt{21}$ a la potencia de $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

Paso 6.3.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1 + 1}}$

Paso 6.3.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{2}}$

Paso 6.3.2.6

Reescribe ${\sqrt{21}}^{2}$ como $21$ .

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Paso 6.3.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{21}$ como $21^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 6.3.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 6.3.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.3.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.3.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{21}$

Paso 6.3.2.6.5

Evalúa el exponente.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{21}$

Paso 6.3.3

Cancela el factor común de $3$ y $21$ .

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Paso 6.3.3.1

Factoriza $3$ de $3 \sqrt{21}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 (\sqrt{21})}{21}$

Paso 6.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.3.2.1

Factoriza $3$ de $21$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{3 \cdot 7}$

Paso 6.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{3 \cdot 7}$

Paso 6.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{21}}{7}$

Paso 7

Combina $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ y $\sin (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}$

Paso 8

Obtén el valor de la cotangente.

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Paso 8.1

Usa la definición de cotangente para obtener el valor de $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Paso 8.2

Sustituye los valores conocidos.

$\cot (θ) = \frac{3}{2 \sqrt{3}}$

Paso 8.3

Simplifica el valor de $\cot (θ)$ .

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Paso 8.3.1

Multiplica $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (θ) = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 8.3.2.1

Multiplica $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 8.3.2.2

Mueve $\sqrt{3}$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Paso 8.3.2.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Paso 8.3.2.4

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Paso 8.3.2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 8.3.2.6

Suma $1$ y $1$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 8.3.2.7

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 8.3.2.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 8.3.2.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 8.3.2.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.3.2.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.2.7.4.1

Cancela el factor común.

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.3.2.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Paso 8.3.2.7.5

Evalúa el exponente.

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Paso 8.3.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.3.3.1

Cancela el factor común.

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Paso 8.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 9

Obtén el valor de la secante.

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Paso 9.1

Usa la definición de secante para obtener el valor de $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Paso 9.2

Sustituye los valores conocidos.

$\sec (θ) = \frac{\sqrt{21}}{3}$

Paso 10

Obtén el valor de la cosecante.

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Paso 10.1

Usa la definición de cosecante para obtener el valor de $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Paso 10.2

Sustituye los valores conocidos.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{21}}{2 \sqrt{3}}$

Paso 10.3

Simplifica el valor de $\csc (θ)$ .

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Paso 10.3.1

Combina $\sqrt{21}$ y $\sqrt{3}$ en un solo radical.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{\frac{21}{3}}}{2}$

Paso 10.3.2

Cancela el factor común de $21$ y $3$ .

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Paso 10.3.2.1

Factoriza $3$ de $21$ .

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3}}}{2}$

Paso 10.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.3.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3 (1)}}}{2}$

Paso 10.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 1}}}{2}$

Paso 10.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{\frac{7}{1}}}{2}$

Paso 10.3.2.2.4

Divide $7$ por $1$ .

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{7}}{2}$

Paso 11

Esta es la solución de cada valor trigonométrico.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{21}}{7}$

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}$

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sec (θ) = \frac{\sqrt{21}}{3}$

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{7}}{2}$