Cálculo Ejemplos

${(y - 3)}^{2} = 4 (x - 5)$ , $(9, 7)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} ({(y - 3)}^{2}) = \frac{d}{d y} (4 (x - 5))$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Reescribe ${(y - 3)}^{2}$ como $(y - 3) (y - 3)$ .

$\frac{d}{d y} [(y - 3) (y - 3)]$

Paso 2.2

Expande $(y - 3) (y - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d y} [y (y - 3) - 3 (y - 3)]$

Paso 2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d y} [y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 (y - 3)]$

Paso 2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d y} [y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Paso 2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Paso 2.3.1.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} - 3 \cdot y - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Paso 2.3.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} - 3 y - 3 y + 9]$

Paso 2.3.2

Resta $3 y$ de $- 3 y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} - 6 y + 9]$

Paso 2.4

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} - 6 y + 9$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 6 y] + \frac{d}{d y} [9]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 6 y] + \frac{d}{d y} [9]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [- 6 y] + \frac{d}{d y} [9]$

Paso 2.6

Como $- 6$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 6 y$ con respecto a $y$ es $- 6 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 y - 6 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 y - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [9]$

Paso 2.8

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$2 y - 6 + \frac{d}{d y} [9]$

Paso 2.9

Como $9$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $9$ con respecto a $y$ es $0$ .

$2 y - 6 + 0$

Paso 2.10

Suma $2 y - 6$ y $0$ .

$2 y - 6$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $4$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $4 (x - 5)$ con respecto a $y$ es $4 \frac{d}{d y} [x - 5]$ .

$4 \frac{d}{d y} [x - 5]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 5$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 5]$ .

$4 (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 5])$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$4 (x' + \frac{d}{d y} [- 5])$

Paso 3.4

Como $- 5$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $y$ es $0$ .

$4 (x' + 0)$

Paso 3.5

Suma $x'$ y $0$ .

$4 x'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 y - 6 = 4 x'$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $4 x' = 2 y - 6$ .

$4 x' = 2 y - 6$

Paso 5.2

Divide cada término en $4 x' = 2 y - 6$ por $4$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $4 x' = 2 y - 6$ por $4$ .

$\frac{4 x'}{4} = \frac{2 y}{4} + \frac{- 6}{4}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x'}{4} = \frac{2 y}{4} + \frac{- 6}{4}$

Paso 5.2.2.1.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{2 y}{4} + \frac{- 6}{4}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1.1

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 5.2.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $2 y$ .

$x' = \frac{2 (y)}{4} + \frac{- 6}{4}$

Paso 5.2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x' = \frac{2 y}{2 \cdot 2} + \frac{- 6}{4}$

Paso 5.2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$x' = \frac{2 y}{2 \cdot 2} + \frac{- 6}{4}$

Paso 5.2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x' = \frac{y}{2} + \frac{- 6}{4}$

Paso 5.2.3.1.2

Cancela el factor común de $- 6$ y $4$ .

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Paso 5.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$x' = \frac{y}{2} + \frac{2 (- 3)}{4}$

Paso 5.2.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x' = \frac{y}{2} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2}$

Paso 5.2.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$x' = \frac{y}{2} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2}$

Paso 5.2.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x' = \frac{y}{2} + \frac{- 3}{2}$

Paso 5.2.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = \frac{y}{2} - \frac{3}{2}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{y}{2} - \frac{3}{2}$

Paso 7

Reemplaza $x$ con $9$ y $y$ con $7$ en la expresión.

$\frac{d x}{d y} = \frac{7}{2} - \frac{3}{2}$

Paso 8

Simplifica el resultado.

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Paso 8.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{7 - 3}{2}$

Paso 8.2

Simplifica la expresión.

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Paso 8.2.1

Resta $3$ de $7$ .

$\frac{4}{2}$

Paso 8.2.2

Divide $4$ por $2$ .

$2$