Cálculo Ejemplos

$x y - 6 y^{2} = 9$ , $(21, 3)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x y - 6 y^{2}) = \frac{d}{d x} (9)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x y - 6 y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$

Paso 2.2.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 y^{2}$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$x y' + y - 6 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$x y' + y - 6 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x y' + y - 6 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$x y' + y - 6 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y - 6 (2 y y')$

Paso 2.3.4

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$x y' + y - 12 y y'$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$x y' - 12 y y' + y$

Paso 3

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$x y' - 12 y y' + y = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' - 12 y y' = - y$

Paso 5.2

Factoriza $y'$ de $x y' - 12 y y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y'$ de $x y'$ .

$y' x - 12 y y' = - y$

Paso 5.2.2

Factoriza $y'$ de $- 12 y y'$ .

$y' (x) + y' (- 12 y) = - y$

Paso 5.2.3

Factoriza $y'$ de $y' (x) + y' (- 12 y)$ .

$y' (x - 12 y) = - y$

Paso 5.3

Divide cada término en $y' (x - 12 y) = - y$ por $x - 12 y$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $y' (x - 12 y) = - y$ por $x - 12 y$ .

$\frac{y' (x - 12 y)}{x - 12 y} = \frac{- y}{x - 12 y}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $x - 12 y$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x - 12 y)}{x - 12 y} = \frac{- y}{x - 12 y}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y}{x - 12 y}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y}{x - 12 y}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x - 12 y}$

Paso 7

Reemplaza $x$ con $21$ y $y$ con $3$ en la expresión.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{(21) - 12 \cdot 3}$

Paso 8

Simplifica el resultado.

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Paso 8.1

Cancela el factor común de $3$ y $(21) - 12 \cdot 3$ .

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Paso 8.1.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$- \frac{3 (1)}{(21) - 12 \cdot 3}$

Paso 8.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.1.2.1

Factoriza $3$ de $21$ .

$- \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 7 - 12 \cdot 3}$

Paso 8.1.2.2

Factoriza $3$ de $- 12 \cdot 3$ .

$- \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 7 + 3 (- 4 \cdot 3)}$

Paso 8.1.2.3

Factoriza $3$ de $3 (7) + 3 (- 4 \cdot 3)$ .

$- \frac{3 \cdot 1}{3 (7 - 4 \cdot 3)}$

Paso 8.1.2.4

Cancela el factor común.

$- \frac{3 \cdot 1}{3 (7 - 4 \cdot 3)}$

Paso 8.1.2.5

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{7 - 4 \cdot 3}$

Paso 8.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$- \frac{1}{7 - 12}$

Paso 8.2.2

Resta $12$ de $7$ .

$- \frac{1}{- 5}$

Paso 8.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{1}{5}$

Paso 8.4

Multiplica $- - \frac{1}{5}$ .

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Paso 8.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{5})$

Paso 8.4.2

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $1$ .

$\frac{1}{5}$