Cálculo Ejemplos

$- 1 x^{2} + 1 x y - 2 y^{3} = - 58$ $(- 1, 3)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (- 1 x^{2} + 1 x y - 2 y^{3}) = \frac{d}{d x} (- 58)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 1 x^{2} + 1 x y - 2 y^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 1 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 1 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{3}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 1 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{3}]$

Paso 2.2.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{3}]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [1 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{3}]$

Paso 2.2.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [1 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{3}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [1 x y]$ .

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Paso 2.3.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{3}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$- 2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{3}]$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{3}]$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y^{3}]$

Paso 2.3.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$- 2 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [- 2 y^{3}]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 y^{3}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 y^{3}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 2 x + x y' + y - 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$- 2 x + x y' + y - 2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 2 x + x y' + y - 2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$- 2 x + x y' + y - 2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.4.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 2 x + x y' + y - 2 (3 y^{2} y')$

Paso 2.4.4

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$- 2 x + x y' + y - 6 y^{2} y'$

Paso 2.5

Reordena los términos.

$x y' - 6 y^{2} y' - 2 x + y$

Paso 3

Como $- 58$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 58$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$x y' - 6 y^{2} y' - 2 x + y = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Suma $2 x$ a ambos lados de la ecuación.

$x y' - 6 y^{2} y' + y = 2 x$

Paso 5.1.2

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' - 6 y^{2} y' = 2 x - y$

Paso 5.2

Factoriza $y'$ de $x y' - 6 y^{2} y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y'$ de $x y'$ .

$y' x - 6 y^{2} y' = 2 x - y$

Paso 5.2.2

Factoriza $y'$ de $- 6 y^{2} y'$ .

$y' (x) + y' (- 6 y^{2}) = 2 x - y$

Paso 5.2.3

Factoriza $y'$ de $y' (x) + y' (- 6 y^{2})$ .

$y' (x - 6 y^{2}) = 2 x - y$

Paso 5.3

Divide cada término en $y' (x - 6 y^{2}) = 2 x - y$ por $x - 6 y^{2}$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $y' (x - 6 y^{2}) = 2 x - y$ por $x - 6 y^{2}$ .

$\frac{y' (x - 6 y^{2})}{x - 6 y^{2}} = \frac{2 x}{x - 6 y^{2}} + \frac{- y}{x - 6 y^{2}}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $x - 6 y^{2}$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x - 6 y^{2})}{x - 6 y^{2}} = \frac{2 x}{x - 6 y^{2}} + \frac{- y}{x - 6 y^{2}}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x}{x - 6 y^{2}} + \frac{- y}{x - 6 y^{2}}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{2 x - y}{x - 6 y^{2}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - y}{x - 6 y^{2}}$

Paso 7

Reemplaza $x$ con $- 1$ y $y$ con $3$ en la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (- 1) - (3)}{(- 1) - 6 {(3)}^{2}}$

Paso 8

Simplifica el resultado.

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Paso 8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 - (3)}{- 1 - 6 \cdot 3^{2}}$

Paso 8.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{- 2 - 3}{- 1 - 6 \cdot 3^{2}}$

Paso 8.1.3

Resta $3$ de $- 2$ .

$\frac{- 5}{- 1 - 6 \cdot 3^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 5}{- 1 - 6 \cdot 9}$

Paso 8.2.2

Multiplica $- 6$ por $9$ .

$\frac{- 5}{- 1 - 54}$

Paso 8.2.3

Resta $54$ de $- 1$ .

$\frac{- 5}{- 55}$

Paso 8.3

Cancela el factor común de $- 5$ y $- 55$ .

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Paso 8.3.1

Factoriza $- 5$ de $- 5$ .

$\frac{- 5 (1)}{- 55}$

Paso 8.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.2.1

Factoriza $- 5$ de $- 55$ .

$\frac{- 5 \cdot 1}{- 5 \cdot 11}$

Paso 8.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 5 \cdot 1}{- 5 \cdot 11}$

Paso 8.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{11}$