Cálculo Ejemplos

$y = 8 x e^{x}$ , $(0, 0)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (8 x e^{x})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x e^{x}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x}$ .

$8 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$8 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.4.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$8 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Paso 3.4.2

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$8 (x e^{x} + e^{x})$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$8 (x e^{x}) + 8 e^{x}$

Paso 3.5.2

Reordena los términos.

$8 e^{x} x + 8 e^{x}$

Paso 3.5.3

Reordena los factores en $8 e^{x} x + 8 e^{x}$ .

$8 x e^{x} + 8 e^{x}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 8 x e^{x} + 8 e^{x}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x e^{x} + 8 e^{x}$

Paso 6

Reemplaza $x$ con $0$ y $y$ con $0$ en la expresión.

$\frac{d y}{d x} = 8 (0) e^{0} + 8 e^{0}$

Paso 7

Simplifica el resultado.

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Paso 7.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1

Multiplica $8$ por $0$ .

$0 e^{0} + 8 e^{0}$

Paso 7.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$0 \cdot 1 + 8 e^{0}$

Paso 7.1.3

Multiplica $0$ por $1$ .

$0 + 8 e^{0}$

Paso 7.1.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$0 + 8 \cdot 1$

Paso 7.1.5

Multiplica $8$ por $1$ .

$0 + 8$

Paso 7.2

Suma $0$ y $8$ .

$8$