Cálculo Ejemplos

$3 \sin (y) + x = y^{2}$ ; $(π^{2}, π)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (3 \sin (y) + x) = \frac{d}{d y} (y^{2})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 \sin (y) + x$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [3 \sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{d}{d y} [3 \sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d y} [3 \sin (y)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3 \sin (y)$ con respecto a $y$ es $3 \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$3 \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$

Paso 2.2.2

La derivada de $\sin (y)$ con respecto a $y$ es $\cos (y)$ .

$3 \cos (y) + \frac{d}{d y} [x]$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$3 \cos (y) + x'$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$x' + 3 \cos (y)$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 y$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$x' + 3 \cos (y) = 2 y$

Paso 5

Resta $3 \cos (y)$ de ambos lados de la ecuación.

$x' = 2 y - 3 \cos (y)$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = 2 y - 3 \cos (y)$

Paso 7

Reemplaza $x$ con $p^{2}$ y $y$ con $p$ en la expresión.

$\frac{d x}{d y} = 2 (p) - 3 \cos (p)$

Paso 8

Multiplica $2$ por $p$ .

$2 p - 3 \cos (p)$