Cálculo Ejemplos

$y = 8 x e^{x}$ , $(0, 0)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (8 x e^{x})$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $8$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $8 x e^{x}$ con respecto a $y$ es $8 \frac{d}{d y} [x e^{x}]$ .

$8 \frac{d}{d y} [x e^{x}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = x$ y $g (y) = e^{x}$ .

$8 (x \frac{d}{d y} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d y} [x])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = e^{y}$ y $g (y) = x$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x$ .

$8 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x]) + e^{x} \frac{d}{d y} [x])$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$8 (x (e^{u} \frac{d}{d y} [x]) + e^{x} \frac{d}{d y} [x])$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$8 (x (e^{x} \frac{d}{d y} [x]) + e^{x} \frac{d}{d y} [x])$

Paso 3.4

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$8 (x (e^{x} x') + e^{x} \frac{d}{d y} [x])$

Paso 3.5

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$8 (x (e^{x} x') + e^{x} x')$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$8 (x (e^{x} x')) + 8 (e^{x} x')$

Paso 3.6.2

Elimina los paréntesis.

$8 x (e^{x} x') + 8 e^{x} x'$

Paso 3.6.3

Reordena los términos.

$8 e^{x} x x' + 8 e^{x} x'$

Paso 3.6.4

Reordena los factores en $8 e^{x} x x' + 8 e^{x} x'$ .

$8 x e^{x} x' + 8 e^{x} x'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = 8 x e^{x} x' + 8 e^{x} x'$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $8 x e^{x} x' + 8 e^{x} x' = 1$ .

$8 x e^{x} x' + 8 e^{x} x' = 1$

Paso 5.2

Reordena los factores en $8 x e^{x} x' + 8 e^{x} x'$ .

$8 x x' e^{x} + 8 x' e^{x} = 1$

Paso 5.3

Factoriza $8 x' e^{x}$ de $8 x x' e^{x} + 8 x' e^{x}$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $8 x' e^{x}$ de $8 x x' e^{x}$ .

$8 x' e^{x} x + 8 x' e^{x} = 1$

Paso 5.3.2

Factoriza $8 x' e^{x}$ de $8 x' e^{x}$ .

$8 x' e^{x} x + 8 x' e^{x} \cdot 1 = 1$

Paso 5.3.3

Factoriza $8 x' e^{x}$ de $8 x' e^{x} x + 8 x' e^{x} \cdot 1$ .

$8 x' e^{x} (x + 1) = 1$

Paso 5.4

Divide cada término en $8 x' e^{x} (x + 1) = 1$ por $8 e^{x} (x + 1)$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $8 x' e^{x} (x + 1) = 1$ por $8 e^{x} (x + 1)$ .

$\frac{8 x' e^{x} (x + 1)}{8 e^{x} (x + 1)} = \frac{1}{8 e^{x} (x + 1)}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 x' e^{x} (x + 1)}{8 e^{x} (x + 1)} = \frac{1}{8 e^{x} (x + 1)}$

Paso 5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x' e^{x} (x + 1)}{e^{x} (x + 1)} = \frac{1}{8 e^{x} (x + 1)}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' e^{x} (x + 1)}{e^{x} (x + 1)} = \frac{1}{8 e^{x} (x + 1)}$

Paso 5.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x' (x + 1)}{x + 1} = \frac{1}{8 e^{x} (x + 1)}$

Paso 5.4.2.3

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 5.4.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' (x + 1)}{x + 1} = \frac{1}{8 e^{x} (x + 1)}$

Paso 5.4.2.3.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{1}{8 e^{x} (x + 1)}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{8 e^{x} (x + 1)}$

Paso 7

Reemplaza $x$ con $0$ y $y$ con $0$ en la expresión.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{8 e^{0} ((0) + 1)}$

Paso 8

Simplifica el resultado.

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Paso 8.1

Simplifica el denominador.

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Paso 8.1.1

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{1}{8 e^{0} \cdot 1}$

Paso 8.1.2

Multiplica $8$ por $1$ .

$\frac{1}{8 e^{0}}$

Paso 8.1.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1}{8 \cdot 1}$

Paso 8.2

Multiplica $8$ por $1$ .

$\frac{1}{8}$