Cálculo Ejemplos

$y = arcsec (x) - 6 x$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $arcsec (x) - 6 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [arcsec (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [arcsec (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Paso 1.2

La derivada de $arcsec (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} - 6 \cdot 1$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} - 6$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} - 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}]$ .

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Paso 2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} - 1}$ como ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} (x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} (x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Paso 2.2.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Paso 2.2.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Paso 2.2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Paso 2.2.5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Paso 2.2.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Paso 2.2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1)))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Paso 2.2.8

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Paso 2.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Paso 2.2.10

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Paso 2.2.11

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Paso 2.2.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Paso 2.2.13

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.13.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Paso 2.2.13.2

Resta $2$ de $1$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Paso 2.2.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Paso 2.2.15

Suma $2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 x))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Paso 2.2.16

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot (2 x)) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Paso 2.2.17

Combina $2$ y $\frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot x) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Paso 2.2.18

Combina $\frac{2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $x$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} x}{2}) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Paso 2.2.19

Mueve ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Paso 2.2.20

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Paso 2.2.21

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Paso 2.2.22

Combina $x$ y $\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Paso 2.2.23

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Paso 2.2.24

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Paso 2.2.25

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Paso 2.2.26

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Paso 2.2.27

Multiplica ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Paso 2.2.28

Para escribir ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Paso 2.2.29

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 6)$

Paso 2.2.30

Multiplica ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.30.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 6)$

Paso 2.2.30.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 6)$

Paso 2.2.30.3

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 6)$

Paso 2.2.30.4

Divide $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x^{2} + x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 6)$

Paso 2.2.31

Simplifica ${(x^{2} - 1)}^{1}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x^{2} + x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 6)$

Paso 2.2.32

Suma $x^{2}$ y $x^{2}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 6)$

Paso 2.2.33

Combina $\frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y ${(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

$f'' (x) = - \frac{(2 x^{2} - 1) {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 6)$

Paso 2.2.34

Mueve ${(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 6)$

Paso 2.3

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 0$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la regla del producto a $x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})} + 0$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.4.2.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2})} + 0$

Paso 2.4.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2})} + 0$

Paso 2.4.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} (x^{2} - 1))} + 0$

Paso 2.4.2.2

Simplifica.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} (x^{2} - 1))} + 0$

Paso 2.4.2.3

Multiplica ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $x^{2} - 1$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.2.3.1

Mueve $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{(x^{2} - 1) {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} + 0$

Paso 2.4.2.3.2

Multiplica $x^{2} - 1$ por ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.4.2.3.2.1

Eleva $x^{2} - 1$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{(x^{2} - 1) {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} + 0$

Paso 2.4.2.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{1 + \frac{1}{2}} x^{2}} + 0$

Paso 2.4.2.3.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} x^{2}} + 0$

Paso 2.4.2.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2 + 1}{2}} x^{2}} + 0$

Paso 2.4.2.3.5

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}} + 0$

Paso 2.4.2.4

Suma $- \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}$

Paso 2.4.3

Reordena los factores en $- \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} - 6 = 0$

Paso 4

Simplifica $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} - 6$ .

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1^{2}}} - 6 = 0$

Paso 4.1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{1}{x \sqrt{(x + 1) (x - 1)}} - 6 = 0$

Paso 4.1.2

Multiplica $\frac{1}{x \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ por $\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ .

$\frac{1}{x \sqrt{(x + 1) (x - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}} - 6 = 0$

Paso 4.1.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.1.3.1

Multiplica $\frac{1}{x \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ por $\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x \sqrt{(x + 1) (x - 1)} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}} - 6 = 0$

Paso 4.1.3.2

Mueve $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x (\sqrt{(x + 1) (x - 1)} \sqrt{(x + 1) (x - 1)})} - 6 = 0$

Paso 4.1.3.3

Eleva $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x ({\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)})} - 6 = 0$

Paso 4.1.3.4

Eleva $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x ({\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1} {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1})} - 6 = 0$

Paso 4.1.3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1 + 1}} - 6 = 0$

Paso 4.1.3.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}} - 6 = 0$

Paso 4.1.3.7

Reescribe ${\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}$ como $(x + 1) (x - 1)$ .

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Paso 4.1.3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ como ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - 6 = 0$

Paso 4.1.3.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - 6 = 0$

Paso 4.1.3.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}} - 6 = 0$

Paso 4.1.3.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.3.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}} - 6 = 0$

Paso 4.1.3.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{1}} - 6 = 0$

Paso 4.1.3.7.5

Simplifica.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x ((x + 1) (x - 1))} - 6 = 0$

Paso 4.1.4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.4.1

Reescribe.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x \sqrt{(x + 1) (x - 1)} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}} - 6 = 0$

Paso 4.1.4.2

Mueve $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x (\sqrt{(x + 1) (x - 1)} \sqrt{(x + 1) (x - 1)})} - 6 = 0$

Paso 4.1.4.3

Eleva $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x ({\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)})} - 6 = 0$

Paso 4.1.4.4

Eleva $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x ({\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1} {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1})} - 6 = 0$

Paso 4.1.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1 + 1}} - 6 = 0$

Paso 4.1.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}} - 6 = 0$

Paso 4.1.4.7

Reescribe ${\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}$ como $(x + 1) (x - 1)$ .

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Paso 4.1.4.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ como ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - 6 = 0$

Paso 4.1.4.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - 6 = 0$

Paso 4.1.4.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}} - 6 = 0$

Paso 4.1.4.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.4.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}} - 6 = 0$

Paso 4.1.4.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{1}} - 6 = 0$

Paso 4.1.4.7.5

Simplifica.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x ((x + 1) (x - 1))} - 6 = 0$

Paso 4.1.4.8

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x (x + 1) (x - 1)} - 6 = 0$

Paso 4.2

Para escribir $- 6$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x (x + 1) (x - 1)} - 6 \cdot \frac{x (x + 1) (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 4.3

Simplifica los términos.

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Paso 4.3.1

Combina $- 6$ y $\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x (x + 1) (x - 1)} + \frac{- 6 (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 4.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 6 (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} + (- 6 x \cdot x - 6 x \cdot 1) (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 4.4.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.4.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} + (- 6 (x \cdot x) - 6 x \cdot 1) (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 4.4.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} + (- 6 x^{2} - 6 x \cdot 1) (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 4.4.3

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} + (- 6 x^{2} - 6 x) (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 4.4.4

Expande $(- 6 x^{2} - 6 x) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.4.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 6 x^{2} (x - 1) - 6 x (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 4.4.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot - 1 - 6 x (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 4.4.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot - 1 - 6 x \cdot x - 6 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 4.4.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.4.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.5.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.4.5.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 6 (x \cdot x^{2}) - 6 x^{2} \cdot - 1 - 6 x \cdot x - 6 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 4.4.5.1.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 4.4.5.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 6 (x^{1} x^{2}) - 6 x^{2} \cdot - 1 - 6 x \cdot x - 6 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 4.4.5.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 6 x^{1 + 2} - 6 x^{2} \cdot - 1 - 6 x \cdot x - 6 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 4.4.5.1.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 6 x^{3} - 6 x^{2} \cdot - 1 - 6 x \cdot x - 6 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 4.4.5.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 6 x^{3} + 6 x^{2} - 6 x \cdot x - 6 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 4.4.5.1.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.4.5.1.3.1

Mueve $x$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 6 x^{3} + 6 x^{2} - 6 (x \cdot x) - 6 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 4.4.5.1.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 6 x^{3} + 6 x^{2} - 6 x^{2} - 6 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 4.4.5.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 6 x^{3} + 6 x^{2} - 6 x^{2} + 6 x}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 4.4.5.2

Resta $6 x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 6 x^{3} + 0 + 6 x}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 4.4.5.3

Suma $- 6 x^{3}$ y $0$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 6 x^{3} + 6 x}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 5

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x \approx 1.01343291$

Paso 6

Evalúa la segunda derivada en $x = 1.01343291$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{2 {(1.01343291)}^{2} - 1}{{(1.01343291)}^{2} {({(1.01343291)}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 7

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Eleva $1.01343291$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{2 \cdot 1.02704627 - 1}{{1.01343291}^{2} {({1.01343291}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 7.1.2

Multiplica $2$ por $1.02704627$ .

$- \frac{2.05409255 - 1}{{1.01343291}^{2} {({1.01343291}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 7.1.3

Resta $1$ de $2.05409255$ .

$- \frac{1.05409255}{{1.01343291}^{2} {({1.01343291}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 7.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.1

Eleva $1.01343291$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{1.05409255}{1.02704627 {({1.01343291}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 7.2.2

Eleva $1.01343291$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{1.05409255}{1.02704627 {(1.02704627 - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 7.2.3

Resta $1$ de $1.02704627$ .

$- \frac{1.05409255}{1.02704627 \cdot {0.02704627}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 7.2.4

Reescribe $0.02704627$ como ${0.16445752}^{2}$ .

$- \frac{1.05409255}{1.02704627 \cdot {({0.16445752}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 7.2.5

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1.05409255}{1.02704627 \cdot {0.16445752}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 7.2.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.6.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1.05409255}{1.02704627 \cdot {0.16445752}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 7.2.6.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{1.05409255}{1.02704627 \cdot {0.16445752}^{3}}$

Paso 7.2.7

Eleva $0.16445752$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{1.05409255}{1.02704627 \cdot 0.00444796}$

Paso 7.3

Simplifica la expresión.

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Paso 7.3.1

Multiplica $1.02704627$ por $0.00444796$ .

$- \frac{1.05409255}{0.00456826}$

Paso 7.3.2

Divide $1.05409255$ por $0.00456826$ .

$- 1 \cdot 230.74245167$

Paso 7.3.3

Multiplica $- 1$ por $230.74245167$ .

$- 230.74245167$

Paso 8

$x = 1.01343291$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 1.01343291$ es un máximo local

Paso 9

Obtén el valor de y cuando $x = 1.01343291$ .

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.01343291$ en la expresión.

$f (1.01343291) = arcsec (1.01343291) - 6 \cdot 1.01343291$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

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Paso 9.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.1.1

Evalúa $arcsec (1.01343291)$ .

$f (1.01343291) = 0.16299847 - 6 \cdot 1.01343291$

Paso 9.2.1.2

Multiplica $- 6$ por $1.01343291$ .

$f (1.01343291) = 0.16299847 - 6.0805975$

Paso 9.2.2

Resta $6.0805975$ de $0.16299847$ .

$f (1.01343291) = - 5.91759902$

Paso 9.2.3

La respuesta final es $- 5.91759902$ .

$y = - 5.91759902$

Paso 10

Estos son los extremos locales de $f (x) = arcsec (x) - 6 x$ .

$(1.01343291, - 5.91759902)$ es un máximo local

Paso 11