Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 \cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \cos^{3} (x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \cos^{3} (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\cos (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$2 (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 1.2.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$2 (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 1.2.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$2 (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 1.2.5

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x))$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \cos^{2} (x)$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Paso 2.2.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Paso 2.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 u \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Paso 2.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Paso 2.2.5

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Paso 2.2.6

Multiplica $\cos^{2} (x)$ por $\cos (x)$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.6.1

Multiplica $\cos^{2} (x)$ por $\cos (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.6.1.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Paso 2.2.6.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - 6 ({\cos (x)}^{2 + 1} + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Paso 2.2.6.2

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Paso 2.2.7

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (- 2 \cos (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Paso 2.2.8

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Paso 2.2.9

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Paso 2.2.10

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Paso 2.2.11

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Paso 2.3.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 \cos (x)$

Paso 2.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - 6 \cos^{3} (x) - 6 (- 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 \cos (x)$

Paso 2.4.2

Multiplica $- 2$ por $- 6$ .

$f'' (x) = - 6 \cos^{3} (x) + 12 \cos (x) \sin^{2} (x) - 3 \cos (x)$

Paso 2.4.3

Reordena los términos.

$f'' (x) = 12 \sin^{2} (x) \cos (x) - 6 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x) = 0$

Paso 4

Factoriza $3 \sin (x)$ de $- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Factoriza $3 \sin (x)$ de $- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x) = 0$

Paso 4.2

Factoriza $3 \sin (x)$ de $- 3 \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Paso 4.3

Factoriza $3 \sin (x)$ de $3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1$ .

$3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- 2 \cos^{2} (x) - 1 = 0$

Paso 6

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Paso 6.2

Resuelve $\sin (x) = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (0)$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 6.2.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - 0$

Paso 6.2.4

Resta $0$ de $π$ .

$x = π$

Paso 6.2.5

La solución a la ecuación $x = 0$ .

$x = 0, π$

Paso 7

Establece $- 2 \cos^{2} (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Establece $- 2 \cos^{2} (x) - 1$ igual a $0$ .

$- 2 \cos^{2} (x) - 1 = 0$

Paso 7.2

Resuelve $- 2 \cos^{2} (x) - 1 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 \cos^{2} (x) = 1$

Paso 7.2.2

Divide cada término en $- 2 \cos^{2} (x) = 1$ por $- 2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Divide cada término en $- 2 \cos^{2} (x) = 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Paso 7.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Paso 7.2.2.2.1.2

Divide $\cos^{2} (x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{- 2}$

Paso 7.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos^{2} (x) = - \frac{1}{2}$

Paso 7.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Paso 7.2.4

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.4.1

Reescribe $- \frac{1}{2}$ como $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.4.1.1

Reescribe $- 1$ como $i^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Paso 7.2.4.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Paso 7.2.4.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\cos (x) = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Paso 7.2.4.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\cos (x) = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Paso 7.2.4.4

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Paso 7.2.4.5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Paso 7.2.4.6

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Paso 7.2.4.7

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.4.7.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 7.2.4.7.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 7.2.4.7.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 7.2.4.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 7.2.4.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 7.2.4.7.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.4.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 7.2.4.7.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 7.2.4.7.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.2.4.7.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.4.7.6.4.1

Cancela el factor común.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.2.4.7.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 7.2.4.7.6.5

Evalúa el exponente.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 7.2.4.8

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 7.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 7.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\cos (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 7.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 7.2.6

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 7.2.7

Resuelve $x$ en $\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.7.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (\frac{i \sqrt{2}}{2})$

Paso 7.2.7.2

La inversa del coseno de $\arccos (\frac{i \sqrt{2}}{2})$ es indefinida.

Indefinida

Paso 7.2.8

Resuelve $x$ en $\cos (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.8.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Paso 7.2.8.2

La inversa del coseno de $\arccos (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$ es indefinida.

Indefinida

Paso 7.2.9

Enumera todas las soluciones.

No hay solución

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x) - 1) = 0$ verdadera.

$x = 0, π$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$12 \sin^{2} (0) \cos (0) - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$12 \cdot 0^{2} \cos (0) - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Paso 10.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$12 \cdot 0 \cos (0) - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Paso 10.1.3

Multiplica $12$ por $0$ .

$0 \cos (0) - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Paso 10.1.4

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$0 \cdot 1 - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Paso 10.1.5

Multiplica $0$ por $1$ .

$0 - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Paso 10.1.6

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$0 - 6 \cdot 1^{3} - 3 \cos (0)$

Paso 10.1.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$0 - 6 \cdot 1 - 3 \cos (0)$

Paso 10.1.8

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$0 - 6 - 3 \cos (0)$

Paso 10.1.9

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$0 - 6 - 3 \cdot 1$

Paso 10.1.10

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$0 - 6 - 3$

Paso 10.2

Simplifica mediante la resta de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1

Resta $6$ de $0$ .

$- 6 - 3$

Paso 10.2.2

Resta $3$ de $- 6$ .

$- 9$

Paso 11

$x = 0$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 0$ es un máximo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = 2 \cos^{3} (0) + 3 \cos (0)$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (0) = 2 \cdot 1^{3} + 3 \cos (0)$

Paso 12.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (0) = 2 \cdot 1 + 3 \cos (0)$

Paso 12.2.1.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (0) = 2 + 3 \cos (0)$

Paso 12.2.1.4

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (0) = 2 + 3 \cdot 1$

Paso 12.2.1.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$f (0) = 2 + 3$

Paso 12.2.2

Suma $2$ y $3$ .

$f (0) = 5$

Paso 12.2.3

La respuesta final es $5$ .

$y = 5$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada en $x = π$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$12 \sin^{2} (π) \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$12 \sin^{2} (0) \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Paso 14.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$12 \cdot 0^{2} \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Paso 14.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$12 \cdot 0 \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Paso 14.1.4

Multiplica $12$ por $0$ .

$0 \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Paso 14.1.5

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$0 (- \cos (0)) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Paso 14.1.6

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Paso 14.1.7

Multiplica $0 (- 1 \cdot 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 \cdot - 1 - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Paso 14.1.7.2

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$0 - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Paso 14.1.8

$0 - 6 {(- \cos (0))}^{3} - 3 \cos (π)$

Paso 14.1.9

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$0 - 6 {(- 1 \cdot 1)}^{3} - 3 \cos (π)$

Paso 14.1.10

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 - 6 {(- 1)}^{3} - 3 \cos (π)$

Paso 14.1.11

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$0 - 6 \cdot - 1 - 3 \cos (π)$

Paso 14.1.12

Multiplica $- 6$ por $- 1$ .

$0 + 6 - 3 \cos (π)$

Paso 14.1.13

$0 + 6 - 3 (- \cos (0))$

Paso 14.1.14

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$0 + 6 - 3 (- 1 \cdot 1)$

Paso 14.1.15

Multiplica $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1.15.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 + 6 - 3 \cdot - 1$

Paso 14.1.15.2

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$0 + 6 + 3$

Paso 14.2

Simplifica mediante la adición de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.1

Suma $0$ y $6$ .

$6 + 3$

Paso 14.2.2

Suma $6$ y $3$ .

$9$

Paso 15

$x = π$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = π$ es un mínimo local

Paso 16

Obtén el valor de y cuando $x = π$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.1

Reemplaza la variable $x$ con $π$ en la expresión.

$f (π) = 2 \cos^{3} (π) + 3 \cos (π)$

Paso 16.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.1.1

$f (π) = 2 {(- \cos (0))}^{3} + 3 \cos (π)$

Paso 16.2.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (π) = 2 {(- 1 \cdot 1)}^{3} + 3 \cos (π)$

Paso 16.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (π) = 2 {(- 1)}^{3} + 3 \cos (π)$

Paso 16.2.1.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (π) = 2 \cdot - 1 + 3 \cos (π)$

Paso 16.2.1.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (π) = - 2 + 3 \cos (π)$

Paso 16.2.1.6

$f (π) = - 2 + 3 (- \cos (0))$

Paso 16.2.1.7

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (π) = - 2 + 3 (- 1 \cdot 1)$

Paso 16.2.1.8

Multiplica $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.1.8.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (π) = - 2 + 3 \cdot - 1$

Paso 16.2.1.8.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f (π) = - 2 - 3$

Paso 16.2.2

Resta $3$ de $- 2$ .

$f (π) = - 5$

Paso 16.2.3

La respuesta final es $- 5$ .

$y = - 5$

Paso 17

Estos son los extremos locales de $f (x) = 2 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x)$ .

$(0, 5)$ es un máximo local

$(π, - 5)$ es un mínimo local

Paso 18