Cálculo Ejemplos

$\frac{4 x}{{(x + 4)}^{2}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 x}{{(x + 4)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x + 4)}^{2}$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{({(x + 4)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.1.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(x + 4)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.1.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 1.1.3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.3.3

Multiplica ${(x + 4)}^{2}$ por $1$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x + 4$ .

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Paso 1.1.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 4$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 4$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.1.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.5.2

Factoriza $x + 4$ de ${(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

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Paso 1.1.5.2.1

Factoriza $x + 4$ de ${(x + 4)}^{2}$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4) - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.5.2.2

Factoriza $x + 4$ de $- 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.5.2.3

Factoriza $x + 4$ de $(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.1.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.6.1

Factoriza $x + 4$ de ${(x + 4)}^{4}$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.1.6.2

Cancela el factor común.

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.1.6.3

Reescribe la expresión.

$4 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.1.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.1.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.1.9

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x (1 + 0)}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.1.10

Simplifica los términos.

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Paso 1.1.10.1

Suma $1$ y $0$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x \cdot 1}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.1.10.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.1.10.3

Resta $2 x$ de $x$ .

$4 \frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.1.10.4

Combina $4$ y $\frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$\frac{4 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.1.11

Simplifica.

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Paso 1.1.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (- x) + 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.1.11.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.11.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{- 4 x + 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.1.11.2.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{- 4 x + 16}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.1.11.3

Factoriza $4$ de $- 4 x + 16$ .

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Paso 1.1.11.3.1

Factoriza $4$ de $- 4 x$ .

$\frac{4 (- x) + 16}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.1.11.3.2

Factoriza $4$ de $16$ .

$\frac{4 (- x) + 4 (4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.1.11.3.3

Factoriza $4$ de $4 (- x) + 4 (4)$ .

$\frac{4 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.1.11.4

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{4 (- (x) + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.1.11.5

Reescribe $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$\frac{4 (- (x) - 1 (- 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.1.11.6

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{4 (- (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.1.11.7

Reescribe $- (x - 4)$ como $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{4 (- 1 (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.1.11.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$4 (x - 4) = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $4 (x - 4) = 0$ por $4$ y simplifica.

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Paso 2.3.1.1

Divide cada término en $4 (x - 4) = 0$ por $4$ .

$\frac{4 (x - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 2.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 (x - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 2.3.1.2.1.2

Divide $x - 4$ por $1$ .

$x - 4 = \frac{0}{4}$

Paso 2.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$x - 4 = 0$

Paso 2.3.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x + 4)}^{3} = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 3.2.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 4

Evalúa $\frac{4 x}{{(x + 4)}^{2}}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 4$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $4$ por $x$ .

$\frac{4 (4)}{{((4) + 4)}^{2}}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{16}{{(4 + 4)}^{2}}$

Paso 4.1.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.2.2.1

Suma $4$ y $4$ .

$\frac{16}{8^{2}}$

Paso 4.1.2.2.2

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\frac{16}{64}$

Paso 4.1.2.3

Cancela el factor común de $16$ y $64$ .

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Paso 4.1.2.3.1

Factoriza $16$ de $16$ .

$\frac{16 (1)}{64}$

Paso 4.1.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.3.2.1

Factoriza $16$ de $64$ .

$\frac{16 \cdot 1}{16 \cdot 4}$

Paso 4.1.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{16 \cdot 1}{16 \cdot 4}$

Paso 4.1.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4}$

Paso 4.2

Evalúa en $x = - 4$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $- 4$ por $x$ .

$\frac{4 (- 4)}{{((- 4) + 4)}^{2}}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Suma $- 4$ y $4$ .

$\frac{4 (- 4)}{0^{2}}$

Paso 4.2.2.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{4 (- 4)}{0}$

Paso 4.2.2.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(4, \frac{1}{4})$

Paso 5