Cálculo Ejemplos

$\frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Como $4$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$ con respecto a $t$ es $4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{3 t^{2} + 27}]$ .

$f' (t) = 4 \frac{d}{d t} (\frac{t}{3 t^{2} + 27})$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = t$ y $g (t) = 3 t^{2} + 27$ .

$f' (t) = 4 (\frac{(3 t^{2} + 27) \frac{d}{d t} (t) - t \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 27)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (t) = 4 (\frac{(3 t^{2} + 27) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 27)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Paso 1.1.3.2

Multiplica $3 t^{2} + 27$ por $1$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 27)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Paso 1.1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $3 t^{2} + 27$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [27]$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (\frac{d}{d t} (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} (27))}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Paso 1.1.3.4

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3 t^{2}$ con respecto a $t$ es $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (3 \frac{d}{d t} (t^{2}) + \frac{d}{d t} (27))}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Paso 1.1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (3 (2 t) + \frac{d}{d t} (27))}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Paso 1.1.3.6

Multiplica $2$ por $3$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (6 t + \frac{d}{d t} (27))}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Paso 1.1.3.7

Como $27$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $27$ con respecto a $t$ es $0$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (6 t + 0)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Paso 1.1.3.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.8.1

Suma $6 t$ y $0$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (6 t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Paso 1.1.3.8.2

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - 6 t \cdot t}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Paso 1.1.4

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - 6 (t \cdot t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Paso 1.1.5

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - 6 (t \cdot t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Paso 1.1.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - 6 t^{1 + 1}}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Paso 1.1.7

Suma $1$ y $1$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - 6 t^{2}}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Paso 1.1.8

Resta $6 t^{2}$ de $3 t^{2}$ .

$f' (t) = 4 (\frac{- 3 t^{2} + 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Paso 1.1.9

Combina $4$ y $\frac{- 3 t^{2} + 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$ .

$f' (t) = \frac{4 (- 3 t^{2} + 27)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 1.1.10

Simplifica.

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Paso 1.1.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (t) = \frac{4 (- 3 t^{2}) + 4 \cdot 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 1.1.10.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.10.2.1

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$f' (t) = \frac{- 12 t^{2} + 4 \cdot 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 1.1.10.2.2

Multiplica $4$ por $27$ .

$f' (t) = \frac{- 12 t^{2} + 108}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 1.1.10.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.10.3.1

Factoriza $12$ de $- 12 t^{2} + 108$ .

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Paso 1.1.10.3.1.1

Factoriza $12$ de $- 12 t^{2}$ .

$f' (t) = \frac{12 (- t^{2}) + 108}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 1.1.10.3.1.2

Factoriza $12$ de $108$ .

$f' (t) = \frac{12 (- t^{2}) + 12 (9)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 1.1.10.3.1.3

Factoriza $12$ de $12 (- t^{2}) + 12 (9)$ .

$f' (t) = \frac{12 (- t^{2} + 9)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 1.1.10.3.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$f' (t) = \frac{12 (- t^{2} + 3^{2})}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 1.1.10.3.3

Reordena $- t^{2}$ y $3^{2}$ .

$f' (t) = \frac{12 (3^{2} - t^{2})}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 1.1.10.3.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3$ y $b = t$ .

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 1.1.10.4

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.10.4.1

Factoriza $3$ de $3 t^{2} + 27$ .

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Paso 1.1.10.4.1.1

Factoriza $3$ de $3 t^{2}$ .

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 (t^{2}) + 27)}^{2}}$

Paso 1.1.10.4.1.2

Factoriza $3$ de $27$ .

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 t^{2} + 3 \cdot 9)}^{2}}$

Paso 1.1.10.4.1.3

Factoriza $3$ de $3 t^{2} + 3 \cdot 9$ .

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 (t^{2} + 9))}^{2}}$

Paso 1.1.10.4.2

Aplica la regla del producto a $3 (t^{2} + 9)$ .

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{3^{2} {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 1.1.10.4.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{9 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 1.1.10.5

Cancela el factor común de $12$ y $9$ .

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Paso 1.1.10.5.1

Factoriza $3$ de $12 (3 + t) (3 - t)$ .

$f' (t) = \frac{3 (4 (3 + t) (3 - t))}{9 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 1.1.10.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.10.5.2.1

Factoriza $3$ de $9 {(t^{2} + 9)}^{2}$ .

$f' (t) = \frac{3 (4 (3 + t) (3 - t))}{3 (3 {(t^{2} + 9)}^{2})}$

Paso 1.1.10.5.2.2

Cancela el factor común.

$f' (t) = \frac{3 (4 (3 + t) (3 - t))}{3 (3 {(t^{2} + 9)}^{2})}$

Paso 1.1.10.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (t) = \frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (t)$ con respecto a $t$ es $\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}}$ .

$\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$4 (3 + t) (3 - t) = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $t$ .

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Paso 2.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 + t = 0$

$3 - t = 0$

Paso 2.3.2

Establece $3 + t$ igual a $0$ y resuelve $t$ .

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Paso 2.3.2.1

Establece $3 + t$ igual a $0$ .

$3 + t = 0$

Paso 2.3.2.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$t = - 3$

Paso 2.3.3

Establece $3 - t$ igual a $0$ y resuelve $t$ .

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Paso 2.3.3.1

Establece $3 - t$ igual a $0$ .

$3 - t = 0$

Paso 2.3.3.2

Resuelve $3 - t = 0$ en $t$ .

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Paso 2.3.3.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- t = - 3$

Paso 2.3.3.2.2

Divide cada término en $- t = - 3$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.3.3.2.2.1

Divide cada término en $- t = - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- t}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Paso 2.3.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.3.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{t}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Paso 2.3.3.2.2.2.2

Divide $t$ por $1$ .

$t = \frac{- 3}{- 1}$

Paso 2.3.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.2.2.3.1

Divide $- 3$ por $- 1$ .

$t = 3$

Paso 2.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 (3 + t) (3 - t) = 0$ verdadera.

$t = - 3, 3$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $\frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$ en cada valor $t$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $t = - 3$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $- 3$ por $t$ .

$\frac{4 (- 3)}{3 {(- 3)}^{2} + 27}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ y $3 {(- 3)}^{2} + 27$ .

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Paso 4.1.2.1.1

Factoriza $3$ de $4 (- 3)$ .

$\frac{3 (4 \cdot (- 1))}{3 {(- 3)}^{2} + 27}$

Paso 4.1.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.1.2.1

Factoriza $3$ de $3 {(- 3)}^{2}$ .

$\frac{3 (4 \cdot (- 1))}{3 ({(- 3)}^{2}) + 27}$

Paso 4.1.2.1.2.2

Factoriza $3$ de $27$ .

$\frac{3 (4 \cdot (- 1))}{3 {(- 3)}^{2} + 3 \cdot 9}$

Paso 4.1.2.1.2.3

Factoriza $3$ de $3 {(- 3)}^{2} + 3 \cdot 9$ .

$\frac{3 (4 \cdot (- 1))}{3 ({(- 3)}^{2} + 9)}$

Paso 4.1.2.1.2.4

Cancela el factor común.

$\frac{3 (4 \cdot (- 1))}{3 ({(- 3)}^{2} + 9)}$

Paso 4.1.2.1.2.5

Reescribe la expresión.

$\frac{4 \cdot (- 1)}{{(- 3)}^{2} + 9}$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{- 4}{{(- 3)}^{2} + 9}$

Paso 4.1.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.2.3.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 4}{9 + 9}$

Paso 4.1.2.3.2

Suma $9$ y $9$ .

$\frac{- 4}{18}$

Paso 4.1.2.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.1.2.4.1

Cancela el factor común de $- 4$ y $18$ .

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Paso 4.1.2.4.1.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 (- 2)}{18}$

Paso 4.1.2.4.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.4.1.2.1

Factoriza $2$ de $18$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 9}$

Paso 4.1.2.4.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 9}$

Paso 4.1.2.4.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2}{9}$

Paso 4.1.2.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{9}$

Paso 4.2

Evalúa en $t = 3$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $3$ por $t$ .

$\frac{4 (3)}{3 {(3)}^{2} + 27}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ y $3 {(3)}^{2} + 27$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Factoriza $3$ de $4 (3)$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(3)}^{2} + 27}$

Paso 4.2.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.1.2.1

Factoriza $3$ de $3 {(3)}^{2}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(3)}^{2}) + 27}$

Paso 4.2.2.1.2.2

Factoriza $3$ de $27$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(3)}^{2} + 3 \cdot 9}$

Paso 4.2.2.1.2.3

Factoriza $3$ de $3 {(3)}^{2} + 3 \cdot 9$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(3)}^{2} + 9)}$

Paso 4.2.2.1.2.4

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(3)}^{2} + 9)}$

Paso 4.2.2.1.2.5

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{{(3)}^{2} + 9}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.2.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{4}{9 + 9}$

Paso 4.2.2.2.2

Suma $9$ y $9$ .

$\frac{4}{18}$

Paso 4.2.2.3

Cancela el factor común de $4$ y $18$ .

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Paso 4.2.2.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 (2)}{18}$

Paso 4.2.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $18$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 9}$

Paso 4.2.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 9}$

Paso 4.2.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{9}$

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(- 3, - \frac{2}{9}), (3, \frac{2}{9})$

Paso 5