Cálculo Ejemplos

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 \sin^{2} (x) \cos (x)$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sin^{2} (x)$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 1.1.2.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 1.1.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 1.1.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sin (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 1.1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 1.1.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 1.1.2.5

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 1.1.2.6

Multiplica $\sin^{2} (x)$ por $\sin (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.2.6.1

Mueve $\sin (x)$ .

$6 (\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 1.1.2.6.2

Multiplica $\sin (x)$ por $\sin^{2} (x)$ .

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Paso 1.1.2.6.2.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$6 (\sin^{1} (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 1.1.2.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 ({\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 1.1.2.6.3

Suma $1$ y $2$ .

$6 (\sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 1.1.2.7

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\sin^{3} (x)$ .

$6 (- 1 \cdot \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 1.1.2.8

Reescribe $- 1 \sin^{3} (x)$ como $- \sin^{3} (x)$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 1.1.2.9

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 1.1.2.10

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 1.1.2.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 1.1.2.12

Suma $1$ y $1$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.1.3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + 3 (- \sin (x))$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (- \sin^{3} (x)) + 6 (2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Paso 1.1.4.2

Combina los términos.

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Paso 1.1.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$- 6 \sin^{3} (x) + 6 (2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Paso 1.1.4.2.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$- 6 \sin^{3} (x) + 12 \sin (x) \cos^{2} (x) - 3 \sin (x)$

Paso 1.1.4.3

Reordena los términos.

$f' (x) = 12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$ .

$12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$

Paso 2.2

Factoriza $3 \sin (x)$ de $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $3 \sin (x)$ de $12 \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $3 \sin (x)$ de $- 6 \sin^{3} (x)$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 3 \sin (x) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $3 \sin (x)$ de $- 3 \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Paso 2.2.4

Factoriza $3 \sin (x)$ de $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x))$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Paso 2.2.5

Factoriza $3 \sin (x)$ de $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Paso 2.4

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $\sin (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (0)$

Paso 2.4.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.2.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 2.4.2.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - 0$

Paso 2.4.2.4

Resta $0$ de $π$ .

$x = π$

Paso 2.4.2.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 2.4.2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.4.2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 2.4.2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 2.4.2.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 2.4.2.6

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.5

Establece $4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1$ igual a $0$ .

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Reemplaza $4 \cos^{2} (x)$ con $4 (1 - \sin^{2} (x))$ según la identidad de $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$4 (1 - \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Paso 2.5.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \cdot 1 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Paso 2.5.2.2.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Paso 2.5.2.2.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$4 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Paso 2.5.2.3

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.5.2.3.1

Resta $1$ de $4$ .

$- 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

Paso 2.5.2.3.2

Resta $2 \sin^{2} (x)$ de $- 4 \sin^{2} (x)$ .

$- 6 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

Paso 2.5.2.4

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- 6 \sin^{2} (x) = - 3$

Paso 2.5.2.5

Divide cada término en $- 6 \sin^{2} (x) = - 3$ por $- 6$ y simplifica.

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Paso 2.5.2.5.1

Divide cada término en $- 6 \sin^{2} (x) = - 3$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 \sin^{2} (x)}{- 6} = \frac{- 3}{- 6}$

Paso 2.5.2.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.5.2.1

Cancela el factor común de $- 6$ .

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Paso 2.5.2.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 6 \sin^{2} (x)}{- 6} = \frac{- 3}{- 6}$

Paso 2.5.2.5.2.1.2

Divide $\sin^{2} (x)$ por $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3}{- 6}$

Paso 2.5.2.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.5.3.1

Cancela el factor común de $- 3$ y $- 6$ .

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Paso 2.5.2.5.3.1.1

Factoriza $- 3$ de $- 3$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 (1)}{- 6}$

Paso 2.5.2.5.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.5.2.5.3.1.2.1

Factoriza $- 3$ de $- 6$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 \cdot 1}{- 3 \cdot 2}$

Paso 2.5.2.5.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 \cdot 1}{- 3 \cdot 2}$

Paso 2.5.2.5.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Paso 2.5.2.6

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Paso 2.5.2.7

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.5.2.7.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Paso 2.5.2.7.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Paso 2.5.2.7.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 2.5.2.7.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.5.2.7.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 2.5.2.7.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 2.5.2.7.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 2.5.2.7.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 2.5.2.7.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 2.5.2.7.4.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 2.5.2.7.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.5.2.7.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.5.2.7.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.5.2.7.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.5.2.7.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.5.2.7.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 2.5.2.7.4.6.5

Evalúa el exponente.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 2.5.2.8

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.5.2.8.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 2.5.2.8.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 2.5.2.8.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 2.5.2.9

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 2.5.2.10

Resuelve $x$ en $\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 2.5.2.10.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 2.5.2.10.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.10.2.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ es $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Paso 2.5.2.10.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{4}$

Paso 2.5.2.10.4

Simplifica $π - \frac{π}{4}$ .

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Paso 2.5.2.10.4.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 2.5.2.10.4.2

Combina fracciones.

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Paso 2.5.2.10.4.2.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 2.5.2.10.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Paso 2.5.2.10.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.2.10.4.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Paso 2.5.2.10.4.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 2.5.2.10.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 2.5.2.10.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.5.2.10.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 2.5.2.10.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 2.5.2.10.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 2.5.2.10.6

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.5.2.11

Resuelve $x$ en $\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 2.5.2.11.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 2.5.2.11.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.11.2.1

El valor exacto de $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ es $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Paso 2.5.2.11.3

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Paso 2.5.2.11.4

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 2.5.2.11.4.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Paso 2.5.2.11.4.2

El ángulo resultante de $\frac{5 π}{4}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Paso 2.5.2.11.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 2.5.2.11.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.5.2.11.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 2.5.2.11.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 2.5.2.11.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 2.5.2.11.6

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.11.6.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{4}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Paso 2.5.2.11.6.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 2.5.2.11.6.3

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.11.6.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 2.5.2.11.6.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Paso 2.5.2.11.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.2.11.6.4.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Paso 2.5.2.11.6.4.2

Resta $π$ de $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Paso 2.5.2.11.6.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{7 π}{4}$

Paso 2.5.2.11.7

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.5.2.12

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.5.2.13

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1) = 0$ verdadera.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$6 \sin^{2} (0) \cos (0) + 3 \cos (0)$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$6 \cdot 0^{2} \cos (0) + 3 \cos (0)$

Paso 4.1.2.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$6 \cdot 0 \cos (0) + 3 \cos (0)$

Paso 4.1.2.1.3

Multiplica $6$ por $0$ .

$0 \cos (0) + 3 \cos (0)$

Paso 4.1.2.1.4

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$0 \cdot 1 + 3 \cos (0)$

Paso 4.1.2.1.5

Multiplica $0$ por $1$ .

$0 + 3 \cos (0)$

Paso 4.1.2.1.6

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$0 + 3 \cdot 1$

Paso 4.1.2.1.7

Multiplica $3$ por $1$ .

$0 + 3$

Paso 4.1.2.2

Suma $0$ y $3$ .

$3$

Paso 4.2

Evalúa en $x = π$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $π$ por $x$ .

$6 \sin^{2} (π) \cos (π) + 3 \cos (π)$

Paso 4.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$6 \sin^{2} (0) \cos (π) + 3 \cos (π)$

Paso 4.2.2.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$6 \cdot 0^{2} \cos (π) + 3 \cos (π)$

Paso 4.2.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$6 \cdot 0 \cos (π) + 3 \cos (π)$

Paso 4.2.2.1.4

Multiplica $6$ por $0$ .

$0 \cos (π) + 3 \cos (π)$

Paso 4.2.2.1.5

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$0 (- \cos (0)) + 3 \cos (π)$

Paso 4.2.2.1.6

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1) + 3 \cos (π)$

Paso 4.2.2.1.7

Multiplica $0 (- 1 \cdot 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 \cdot - 1 + 3 \cos (π)$

Paso 4.2.2.1.7.2

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$0 + 3 \cos (π)$

Paso 4.2.2.1.8

$0 + 3 (- \cos (0))$

Paso 4.2.2.1.9

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$0 + 3 (- 1 \cdot 1)$

Paso 4.2.2.1.10

Multiplica $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1.10.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 + 3 \cdot - 1$

Paso 4.2.2.1.10.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$0 - 3$

Paso 4.2.2.2

Resta $3$ de $0$ .

$- 3$

Paso 4.3

Evalúa en $x = \frac{π}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Sustituye $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$6 \sin^{2} (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4}) + 3 \cos (\frac{π}{4})$

Paso 4.3.2

Simplifica.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$6 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} \cos (\frac{π}{4}) + 3 \cos (\frac{π}{4})$

Paso 4.3.2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$6 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} \cos (\frac{π}{4}) + 3 \cos (\frac{π}{4})$

Paso 4.3.2.1.3

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 4.3.2.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} \cos (\frac{π}{4}) + 3 \cos (\frac{π}{4})$

Paso 4.3.2.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} \cos (\frac{π}{4}) + 3 \cos (\frac{π}{4})$

Paso 4.3.2.1.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$6 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \cos (\frac{π}{4}) + 3 \cos (\frac{π}{4})$

Paso 4.3.2.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.2.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$6 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \cos (\frac{π}{4}) + 3 \cos (\frac{π}{4})$

Paso 4.3.2.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$6 \frac{2^{1}}{2^{2}} \cos (\frac{π}{4}) + 3 \cos (\frac{π}{4})$

Paso 4.3.2.1.3.5

Evalúa el exponente.

$6 \frac{2}{2^{2}} \cos (\frac{π}{4}) + 3 \cos (\frac{π}{4})$

Paso 4.3.2.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$6 (\frac{2}{4}) \cos (\frac{π}{4}) + 3 \cos (\frac{π}{4})$

Paso 4.3.2.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.2.1.5.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$2 (3) \frac{2}{4} \cos (\frac{π}{4}) + 3 \cos (\frac{π}{4})$

Paso 4.3.2.1.5.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 \cdot 3 \frac{2}{2 \cdot 2} \cos (\frac{π}{4}) + 3 \cos (\frac{π}{4})$

Paso 4.3.2.1.5.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot 3 \frac{2}{2 \cdot 2} \cos (\frac{π}{4}) + 3 \cos (\frac{π}{4})$

Paso 4.3.2.1.5.4

Reescribe la expresión.

$3 (\frac{2}{2}) \cos (\frac{π}{4}) + 3 \cos (\frac{π}{4})$

Paso 4.3.2.1.6

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{2} \cos (\frac{π}{4}) + 3 \cos (\frac{π}{4})$

Paso 4.3.2.1.7

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6}{2} \cos (\frac{π}{4}) + 3 \cos (\frac{π}{4})$

Paso 4.3.2.1.8

Divide $6$ por $2$ .

$3 \cos (\frac{π}{4}) + 3 \cos (\frac{π}{4})$

Paso 4.3.2.1.9

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \cos (\frac{π}{4})$

Paso 4.3.2.1.10

Combina $3$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3 \cos (\frac{π}{4})$

Paso 4.3.2.1.11

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 4.3.2.1.12

Combina $3$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Paso 4.3.2.2

Simplifica los términos.

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Paso 4.3.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{2}$

Paso 4.3.2.2.2

Suma $3 \sqrt{2}$ y $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{6 \sqrt{2}}{2}$

Paso 4.3.2.2.3

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 4.3.2.2.3.1

Factoriza $2$ de $6 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (3 \sqrt{2})}{2}$

Paso 4.3.2.2.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Paso 4.3.2.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.2.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \sqrt{2}}{1}$

Paso 4.3.2.2.3.2.4

Divide $3 \sqrt{2}$ por $1$ .

$3 \sqrt{2}$

Paso 4.4

Evalúa en $x = \frac{3 π}{4}$ .

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Paso 4.4.1

Sustituye $\frac{3 π}{4}$ por $x$ .

$6 \sin^{2} (\frac{3 π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4}) + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 4.4.2

Simplifica.

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Paso 4.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.2.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$6 \sin^{2} (\frac{π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4}) + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 4.4.2.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$6 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} \cos (\frac{3 π}{4}) + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 4.4.2.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$6 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} \cos (\frac{3 π}{4}) + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 4.4.2.1.4

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} \cos (\frac{3 π}{4}) + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 4.4.2.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} \cos (\frac{3 π}{4}) + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 4.4.2.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$6 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \cos (\frac{3 π}{4}) + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 4.4.2.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.2.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$6 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \cos (\frac{3 π}{4}) + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 4.4.2.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$6 \frac{2^{1}}{2^{2}} \cos (\frac{3 π}{4}) + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 4.4.2.1.4.5

Evalúa el exponente.

$6 \frac{2}{2^{2}} \cos (\frac{3 π}{4}) + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 4.4.2.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$6 (\frac{2}{4}) \cos (\frac{3 π}{4}) + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 4.4.2.1.6

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.2.1.6.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$2 (3) \frac{2}{4} \cos (\frac{3 π}{4}) + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 4.4.2.1.6.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 \cdot 3 \frac{2}{2 \cdot 2} \cos (\frac{3 π}{4}) + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 4.4.2.1.6.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot 3 \frac{2}{2 \cdot 2} \cos (\frac{3 π}{4}) + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 4.4.2.1.6.4

Reescribe la expresión.

$3 (\frac{2}{2}) \cos (\frac{3 π}{4}) + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 4.4.2.1.7

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{2} \cos (\frac{3 π}{4}) + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 4.4.2.1.8

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6}{2} \cos (\frac{3 π}{4}) + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 4.4.2.1.9

Divide $6$ por $2$ .

$3 \cos (\frac{3 π}{4}) + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 4.4.2.1.10

$3 (- \cos (\frac{π}{4})) + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 4.4.2.1.11

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 4.4.2.1.12

Multiplica $3 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Paso 4.4.2.1.12.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 4.4.2.1.12.2

Combina $- 3$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 3 \sqrt{2}}{2} + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 4.4.2.1.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 4.4.2.1.14

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3 (- \cos (\frac{π}{4}))$

Paso 4.4.2.1.15

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 4.4.2.1.16

Multiplica $3 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Paso 4.4.2.1.16.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} - 3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 4.4.2.1.16.2

Combina $- 3$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{- 3 \sqrt{2}}{2}$

Paso 4.4.2.1.17

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Paso 4.4.2.2

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2}}{2}$

Paso 4.4.2.2.2

Resta $3 \sqrt{2}$ de $- 3 \sqrt{2}$ .

$\frac{- 6 \sqrt{2}}{2}$

Paso 4.4.2.2.3

Cancela el factor común de $- 6$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.2.2.3.1

Factoriza $2$ de $- 6 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- 3 \sqrt{2})}{2}$

Paso 4.4.2.2.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.2.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- 3 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Paso 4.4.2.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 3 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.2.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 3 \sqrt{2}}{1}$

Paso 4.4.2.2.3.2.4

Divide $- 3 \sqrt{2}$ por $1$ .

$- 3 \sqrt{2}$

Paso 4.5

Enumera todos los puntos.

$(0 + 2 π n, 3), (π + 2 π n, - 3), (\frac{π}{4} + π n, 3 \sqrt{2}), (\frac{3 π}{4} + π n, - 3 \sqrt{2})$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5