Cálculo Ejemplos

$\frac{x}{6} \tan^{2} (\frac{x}{6})$

Paso 1

Combina $\frac{x}{6}$ y $\tan^{2} (\frac{x}{6})$ .

$\int \frac{x \tan^{2} (\frac{x}{6})}{6} d x$

Paso 2

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{6} \int x \tan^{2} (\frac{x}{6}) d x$

Paso 3

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \tan^{2} (\frac{x}{6})$ .

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{1}{6} x)) - \int - x + 6 \tan (\frac{1}{6} x) d x)$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{1}{6} x)) - (\int - x d x + \int 6 \tan (\frac{1}{6} x) d x))$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{1}{6} x)) - (- \int x d x + \int 6 \tan (\frac{1}{6} x) d x))$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{1}{6} x)) - (- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 6 \tan (\frac{1}{6} x) d x))$

Paso 7

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{1}{6} x)) - (- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 \int \tan (\frac{1}{6} x) d x))$

Paso 8

Sea $u = \frac{1}{6} x$ . Entonces $d u = \frac{1}{6} d x$ , de modo que $6 d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 8.1

Deja $u = \frac{1}{6} x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $\frac{1}{6} x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x]$

Paso 8.1.2

Como $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{6} x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 1$

Paso 8.1.4

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $1$ .

$\frac{1}{6}$

Paso 8.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{1}{6} x)) - (- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 \int \tan (u) \frac{1}{\frac{1}{6}} d u))$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Combina $\frac{1}{6}$ y $x$ .

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{x}{6})) - (- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 \int \tan (u) \frac{1}{\frac{1}{6}} d u))$

Paso 9.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{x}{6})) - (- (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 \int \tan (u) \frac{1}{\frac{1}{6}} d u))$

Paso 9.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{x}{6})) - (- (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 \int \tan (u) (1 \cdot 6) d u))$

Paso 9.4

Multiplica $6$ por $1$ .

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{x}{6})) - (- (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 \int \tan (u) \cdot 6 d u))$

Paso 9.5

Mueve $6$ a la izquierda de $\tan (u)$ .

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{x}{6})) - (- (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 \int 6 \tan (u) d u))$

Paso 10

Dado que $6$ es constante con respecto a $u$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{x}{6})) - (- (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 (6 \int \tan (u) d u)))$

Paso 11

Multiplica $6$ por $6$ .

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{x}{6})) - (- (\frac{x^{2}}{2} + C) + 36 \int \tan (u) d u))$

Paso 12

La integral de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\ln (| \sec (u) |)$ .

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{x}{6})) - (- (\frac{x^{2}}{2} + C) + 36 (\ln (| \sec (u) |) + C)))$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Simplifica.

$\frac{1}{6} (- x^{2} + 6 x \tan (\frac{x}{6}) + \frac{x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (u) |)) + C$

Paso 13.2

Simplifica.

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Paso 13.2.1

Para escribir $- x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6}) - x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (u) |)) + C$

Paso 13.2.2

Combina $- x^{2}$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6}) + \frac{- x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (u) |)) + C$

Paso 13.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6}) + \frac{- x^{2} \cdot 2 + x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (u) |)) + C$

Paso 13.2.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6}) + \frac{- 2 x^{2} + x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (u) |)) + C$

Paso 13.2.5

Suma $- 2 x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6}) + \frac{- x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (u) |)) + C$

Paso 13.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6}) - \frac{x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (u) |)) + C$

Paso 14

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{1}{6} x$ .

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6}) - \frac{x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (\frac{1}{6} x) |)) + C$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Combina $\frac{1}{6}$ y $x$ .

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6}) - \frac{x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |)) + C$

Paso 15.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6})) + \frac{1}{6} (- \frac{x^{2}}{2}) + \frac{1}{6} (- 36 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |)) + C$

Paso 15.3

Simplifica.

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Paso 15.3.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 15.3.1.1

Factoriza $6$ de $6 x \tan (\frac{x}{6})$ .

$\frac{1}{6} (6 (x \tan (\frac{x}{6}))) + \frac{1}{6} (- \frac{x^{2}}{2}) + \frac{1}{6} (- 36 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |)) + C$

Paso 15.3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{6} (6 (x \tan (\frac{x}{6}))) + \frac{1}{6} (- \frac{x^{2}}{2}) + \frac{1}{6} (- 36 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |)) + C$

Paso 15.3.1.3

Reescribe la expresión.

$x \tan (\frac{x}{6}) + \frac{1}{6} (- \frac{x^{2}}{2}) + \frac{1}{6} (- 36 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |)) + C$

Paso 15.3.2

Multiplica $\frac{1}{6} (- \frac{x^{2}}{2})$ .

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Paso 15.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $\frac{x^{2}}{2}$ .

$x \tan (\frac{x}{6}) - \frac{x^{2}}{6 \cdot 2} + \frac{1}{6} (- 36 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |)) + C$

Paso 15.3.2.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$x \tan (\frac{x}{6}) - \frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{6} (- 36 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |)) + C$

Paso 15.3.3

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 15.3.3.1

Factoriza $6$ de $- 36 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |)$ .

$x \tan (\frac{x}{6}) - \frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{6} (6 (- 6 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |))) + C$

Paso 15.3.3.2

Cancela el factor común.

$x \tan (\frac{x}{6}) - \frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{6} (6 (- 6 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |))) + C$

Paso 15.3.3.3

Reescribe la expresión.

$x \tan (\frac{x}{6}) - \frac{x^{2}}{12} - 6 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |) + C$

Paso 16

Reordena los términos.

$x \tan (\frac{1}{6} x) - \frac{1}{12} x^{2} - 6 \ln (| \sec (\frac{1}{6} x) |) + C$