Cálculo Ejemplos

$C (t) = 3 t e^{- \frac{t}{3}}$

Paso 1

Dado que $3$ es constante con respecto a $t$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int t e^{- \frac{t}{3}} d t$

Paso 2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = t$ y $d v = e^{- \frac{t}{3}}$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{1}{3} t}) - \int - 3 e^{- \frac{1}{3} t} d t)$

Paso 3

Dado que $- 3$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 3$ fuera de la integral.

$3 (t (- 3 e^{- \frac{1}{3} t}) - (- 3 \int e^{- \frac{1}{3} t} d t))$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Combina $t$ y $\frac{1}{3}$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - (- 3 \int e^{- \frac{1}{3} t} d t))$

Paso 4.2

Combina $t$ y $\frac{1}{3}$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - (- 3 \int e^{- \frac{t}{3}} d t))$

Paso 4.3

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int e^{- \frac{t}{3}} d t)$

Paso 5

Sea $u = - \frac{t}{3}$ . Entonces $d u = - \frac{1}{3} d t$ , de modo que $- 3 d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = - \frac{t}{3}$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $- \frac{t}{3}$ .

$\frac{d}{d t} [- \frac{t}{3}]$

Paso 5.1.2

Como $- \frac{1}{3}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- \frac{t}{3}$ con respecto a $t$ es $- \frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 1$

Paso 5.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{3}$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{3}} d u)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{3}} d u)$

Paso 6.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{3}$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - e^{u} (1 \cdot 3) d u)$

Paso 6.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - e^{u} \cdot 3 d u)$

Paso 6.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - 3 e^{u} d u)$

Paso 7

Dado que $- 3$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 3$ fuera de la integral.

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 (- 3 \int e^{u} d u))$

Paso 8

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - 9 \int e^{u} d u)$

Paso 9

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - 9 (e^{u} + C))$

Paso 10

Reescribe $3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - 9 (e^{u} + C))$ como $3 (- 3 t e^{- \frac{t}{3}} - 9 e^{u}) + C$ .

$3 (- 3 t e^{- \frac{t}{3}} - 9 e^{u}) + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- \frac{t}{3}$ .

$3 (- 3 t e^{- \frac{t}{3}} - 9 e^{- \frac{t}{3}}) + C$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (- 3 t e^{- \frac{t}{3}}) + 3 (- 9 e^{- \frac{t}{3}}) + C$

Paso 12.2

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$- 9 (t e^{- \frac{t}{3}}) + 3 (- 9 e^{- \frac{t}{3}}) + C$

Paso 12.3

Multiplica $- 9$ por $3$ .

$- 9 t e^{- \frac{t}{3}} - 27 e^{- \frac{t}{3}} + C$

Paso 13

Reordena los términos.

$- 9 t e^{- \frac{1}{3} t} - 27 e^{- \frac{1}{3} t} + C$